Exercício 12. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 6) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Se T: V V é unitária e autoadjunto, então T^2=I.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e que Tcolon Vto V é um operador unitário e também auto-adjunto. Precisamos mostrar que
T^2 = I
Vamos usar as definições de operador unitário e de operador auto-adjunto.

Passo 2

Por ser unitário, T satisfaz
T^*T = I e TT^* = I,
o que implica que
T^-1 = T^*
Como T é auto-adjunto, temos
T^* = T
Logo
T^-1 = T

Passo 3

Bast a multiplicar a igualdade T^-1=T por T à esquerda (ou à direita), obtendo
T,T^-1 = T,T Longrightarrow I = T^2

Resposta

T^2 = I

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