Exercício 12. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 6) Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Se
é unitária e autoadjunto, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e que
é um operador unitário e também auto-adjunto. Precisamos mostrar que
Vamos usar as definições de operador unitário e de operador auto-adjunto.
Passo 2
Por ser unitário,
satisfaz
o que implica que
Como
é auto-adjunto, temos
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Passo 3
Bast a multiplicar a igualdade
por
à esquerda (ou à direita), obtendo