Exercício 10. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 3) Seja
uma transformação linear unitária tal que
, em que
é a base canônica. Mostre que se
é ímpar, então 1 é um autovalor de
. (Dica: Use o exercício 9)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é unitária (isto é,
é ortogonal) e
, então, quando
é ímpar,
é autovalor de
. Vamos usar o resultado do exercício 9, que diz que para qualquer matriz quadrada
vale
Passo 2
Como
é unitária,
e portanto
. Logo temos também
Passo 3
Pelo exercício 9,
Passo 4
Observe que
Então, usando propriedades de determinante,
Passo 5
Juntando com o passo 3, temos
ou seja
Passo 6
Se
é ímpar, então
e
. Logo
, o que implica que
é raiz do polinômio característico de
e, portanto, autovalor de
.
Resposta
Quando
é ímpar,
é autovalor de
.