Exercício 10. (Apostol, capítulo 5.20, exercício 3) Seja T: R^n R^n uma transformação linear unitária tal que det([T]B)=1, em que B é a base canônica. Mostre que se n é ímpar, então 1 é um autovalor de T. (Dica: Use o exercício 9)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se TcolonR^ntoR^n é unitária (isto é, [T] B=A é ortogonal) e det(A)=1, então, quando n é ímpar, 1 é autovalor de T. Vamos usar o resultado do exercício 9, que diz que para qualquer matriz quadrada M vale
det(M)=detl(M^Tr)

Passo 2

Como T é unitária, A^T A=I e portanto A^T=A^-1. Logo temos também
det(A^T)=det(A^-1)=1det(A)=1

Passo 3

Pelo exercício 9,
det(A-I)=detl((A-I)^Tr)=det(A^T-I)=det(A^-1-I)

Passo 4

Observe que
A^-1-I = -,A^-1(A-I)
Então, usando propriedades de determinante,
det(A^-1-I) =detl(-A^-1(A-I)r) =det(-I),det(A^-1),det(A-I) =(-1)^ndet(A-I)

Passo 5

Juntando com o passo 3, temos
det(A-I)=det(A^-1-I)=(-1)^ndet(A-I),
ou seja
l(1-(-1)^nr)det(A-I)=0

Passo 6

Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e 1-(-1)=2neq0. Logo det(A-I)=0, o que implica que 1 é raiz do polinômio característico de A e, portanto, autovalor de T.

Resposta

Quando n é ímpar, 1 é autovalor de T.

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