Em cada caso, esboce o gráfico G(f) da função f: D subset R^2 longrightarrow R dada.
z=f(x, y)=2-y^2, D=R^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico
G(f)=(x,y,z)inR^3mid z=f(x,y)=2-y^2,
com domínio D=R^2. Vamos usar a ideia de traços (ou seções) para entender a forma da superfície em R^3.

Passo 2

Note que f(x,y)=2-y^2 não depende de x. Isso implica que, para cada reta vertical x=x0 fixa, o traço no plano (y,z) é
z = 2 - y^2,
que é uma parábola com vértice em (y,z)=(0,2) e concavidade para baixo.

Passo 3

Agora, para cada y=y0 fixo, temos
z = 2 - y0^2,
ou seja, uma reta paralela ao eixo x situada no plano horizontal z=2-y0^2. Esses traços horizontais mostram que a superfície é “o mesmo nível” para todo x.

Passo 4

Ao combinar os traços: a parábola z=2-y^2 no plano (y,z) é “arrastada” ao longo de todo o eixo x. O resultado é um cilindro parabólico cujas geratrizes são paralelas ao eixo x e cujas seções transversais perpendiculares a x são parábolas no plano (y,z).

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano (y,z) a parábola com vértice em (0,2) e concavidade para baixo.
  2. Projete cada ponto dessa parábola paralelamente ao eixo x, obtendo uma superfície em forma de “parabolóide cilíndrico”.

Resposta

O gráfico de z=2-y^2 é um cilindro parabólico de geratrizes paralelas ao eixo x e seção transversal, no plano (y,z), dada pela parábola de vértice em (0,2) com concavidade voltada para baixo.

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