Em cada caso, esboce o gráfico da função dada.
.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico
G(f)=(x,y,z)inR^3mid z=f(x,y)
da função
f(x,y)= 1, & |x|<|y|, 0, & |x|>=|y|, D=R^2
O conteúdo é interpretar regiões no plano (x,y) e elevar cada uma delas a planícies horizontais em R^3.

Passo 2

Identificamos a região onde f(x,y)=1. A condição |x|<|y| equivale a
y>|x|ou y< -|x|,
isto é, dois “cones” (em 2D, dois sectores abertos) delimitados pelas retas
y=xe y=-x,
um acima (onde y> |x|) e outro abaixo (onde y< -|x|).

Passo 3

Sobre essa região (x,y):|x|<|y|, a imagem de f é constante igual a 1. Portanto o gráfico em R^3 é a parte da planície
z=1
acima dos dois sectores y>|x| e y< -|x|.

Passo 4

Na região complementar (x,y):|x|>=|y|, ou seja, entre e sobre as retas y=x e y=-x, temos f(x,y)=0. Assim, o gráfico é a parte da planície
z=0
acima desse fecho.

Passo 5

Sobre as linhas de fronteira |x|=|y| (isto é, y=x e y=-x), vale f=0, logo a planície z=0 estende-se até essas retas. Há, pois, um “salto” de z=0 para z=1 ao atravessar as retas y=pm x.

Resposta

O gráfico G(f) é formado por duas partes planas em R^3:
  • A planície z=1 sobre os sectores abertos y>|x| e y< -|x|.
  • A planície z=0 sobre o complemento |x|>=|y|, incluindo as retas y=pm x.

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