Em cada caso, esboce o gráfico G(f) da função f: D subset R^2 longrightarrow R dada.
z=f(x, y)=raiz16-x^2-y^2, D=B[4]-(0,0) .

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico
G(f)=(x,y,z)inR^3mid z=f(x,y)=raiz16 - x^2 - y^2,;(x,y)in D,
sendo
D = (x,y)mid x^2+y^2<=16setminus(0,0)
O conteúdo é reconhecimento de superfícies em R^3, aqui uma semiesfera.

Passo 2

Analisando D, vemos que x^2+y^2<=16 é o disco de raio 4 no plano xy, e retiramos o ponto (0,0). Logo o raio polar r=raizx^2+y^2 varia em 0<r<=4.

Passo 3

Como
z=raiz16 - r^2 Longrightarrow z^2 + r^2 =16,
vemos que todos os pontos (x,y,z) do gráfico satisfazem
x^2 + y^2 + z^2 =16 com z>=0
Isto é a semiesfera de raio 4 acima do plano xy.

Passo 4

No ponto r=0 teríamos z=4, mas (0,0)notin D, logo o pólo norte (0,0,4) está ausente. No contorno r=4 tem-se z=0, portanto a circunferência de raio 4 em z=0 faz parte do gráfico.

Resposta

O gráfico G(f) é a semiesfera superior de raio 4 (a parte de x^2+y^2+z^2=16 com z>=0), incluindo a “beirada” circular em z=0, mas com o pólo norte (0,0,4) removido.

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