Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam
e
funções de
com valores em
(
). Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções de
em
, ambas diferenciáveis, e que
é invertível para todo
. Queremos encontrar a derivada de
Para isso vamos usar a regra do produto para funções com valores em matriz e a derivada do inverso de
.
Passo 2
Pela regra do produto (que vale para multiplicação de matrizes, pois é bilinear), temos
Passo 3
Para achar
, note que
. Diferenciando ambos os lados:
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituindo em
, vem
que reescrevendo dá exatamente