Exercício 14. (Apostol, capítulo 7.4, exercício 2 e 3) Sejam P e Q funções de R com valores em Mn times n ( R ). Mostre que
(P Q^-1)^prime=-P Q^-1 Q^prime Q^-1+P^prime Q^-1.

Passo 1

O enunciado diz que P e Q são funções de R em Mntimes n(R), ambas diferenciáveis, e que Q(t) é invertível para todo t. Queremos encontrar a derivada de
g(t)=P(t),Q(t)^-1
Para isso vamos usar a regra do produto para funções com valores em matriz e a derivada do inverso de Q.

Passo 2

Pela regra do produto (que vale para multiplicação de matrizes, pois é bilinear), temos
l(PQ^-1r)' ;=; P',Q^-1 ;+; P,l(Q^-1r)'

Passo 3

Para achar l(Q^-1r)', note que Q,Q^-1=I. Diferenciando ambos os lados:
l(Q,Q^-1r)' = Q',Q^-1 + Q,l(Q^-1r)' = 0
Isolando l(Q^-1r)' obtemos
l(Q^-1r)' = -,Q^-1,Q',Q^-1

Passo 4

Substituindo em l(PQ^-1r)' = P',Q^-1 + P,(Q^-1)', vem
l(PQ^-1r)' = P',Q^-1 ;+; Pl(-Q^-1Q'Q^-1r) = P',Q^-1 ;-; P,Q^-1,Q',Q^-1,
que reescrevendo dá exatamente
l(PQ^-1r)' = -,P,Q^-1,Q',Q^-1 ;+; P',Q^-1

Resposta

l(PQ^-1r)' = -,P,Q^-1,Q',Q^-1 + P',Q^-1

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