Questão 4 Encontre a solução da equação diferencial ordinária ddotx+x=g(t), x(t0)=x0 e dotx(t0)=x1 onde g: R longrightarrow R é uma aplicação contínua.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial ordinária não homogênea
ddotx(t)+x(t)=g(t)
com condições iniciais
,x(t0)=x0 e dotx(t0)=x1, onde g:RtoR é contínua.
Para resolver isso, vamos usar o método padrão para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular por variação de parâmetros (ou pelo operador inverso), e finalmente ajustamos as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Resolução da parte homogênea
ddotxh(t)+xh(t)=0
A equação característica é
r^2+1=0Longrightarrow r=pm i,
logo as soluções fundamentais são
cos t e sin t.
Portanto a solução geral da homogênea é
xh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Variação de parâmetros para encontrar xp(t)
Assumimos
xp(t)=u1(t)cos t+u2(t)sin t
com as condições auxiliares
u1'(t)cos t + u2'(t)sin t = 0, -u1'(t)sin t + u2'(t)cos t = g(t)
Resolvendo esse sistema obtemos
u1'(t)=-sin t;g(t), u2'(t)=cos t;g(t)
Integrando de t0 até t e escolhendo u1(t0)=u2(t0)=0 (para que xp(t0)=0 e dotxp(t0)=0), dá
u1(t)=-integralt0^tsin s,g(s),ds, u2(t)=integralt0^tcos s,g(s),ds
Substituindo em xp e usando identidades de convolução, chega-se à forma mais simples
xp(t)=integralt0^tsinl(t-sr),g(s),ds

Passo 4

Solução geral e aplicação das condições iniciais
A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t) =C1cos t + C2sin t +integralt0^tsinl(t-sr),g(s),ds
Como o termo integral foi construído para zerar em t=t0, temos
x(t0)=C1cos t0+C2sin t0=x0, dotx(t0)=-C1sin t0+C2cos t0=x1
Em vez de resolver de novo esse sistema, podemos reescrever a combinação homogênea em função de t-t0, definindo
C1=x0cos t0-x1sin t0, C2=x0sin t0+x1cos t0,
o que leva ao formato deslocado
xh(t)=x0cosl(t-t0r)+x1sinl(t-t0r)

Resposta

x(t) = x0cosl(t-t0r) + x1sinl(t-t0r) + integralt0^tsinl(t-sr),g(s),ds

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