Questão 4 Encontre a solução da equação diferencial ordinária
e
onde
é uma aplicação contínua.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial ordinária não homogênea
com condições iniciais
e
, onde
é contínua.
Para resolver isso, vamos usar o método padrão para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular por variação de parâmetros (ou pelo operador inverso), e finalmente ajustamos as constantes usando as condições iniciais.
com condições iniciais
Para resolver isso, vamos usar o método padrão para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular por variação de parâmetros (ou pelo operador inverso), e finalmente ajustamos as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Resolução da parte homogênea
A equação característica é
logo as soluções fundamentais são
e
.
Portanto a solução geral da homogênea é
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Variação de parâmetros para encontrar
Assumimos
Assumimos
com as condições auxiliares
Resolvendo esse sistema obtemos
Integrando de
até
e escolhendo
(para que
e
), dá
Substituindo em
e usando identidades de convolução, chega-se à forma mais simples
Passo 4
Solução geral e aplicação das condições iniciais
A solução geral é
A solução geral é
Como o termo integral foi construído para zerar em
, temos
Em vez de resolver de novo esse sistema, podemos reescrever a combinação homogênea em função de
, definindo
o que leva ao formato deslocado