Questão 3 Determine a estabilidade de todos os pontos críticos do seguinte sistema
dotx & =2 x y-x^3 doty & =-x^2-y^5

Passo 1

Estamos diante de um sistema autônomo em
e queremos determinar a estabilidade de todos os pontos críticos. Para isso, vamos:
, ).
. Linearizar o sistema em cada ponto e verificar os autovalores.
. Caso a linearização seja inconclusiva, recorrer a um Lyapunov para concluir a estabilidade.

Passo 2

Buscamos dot x=0 e dot y=0.
Da primeira equação:
2xy - x^3 = x,(2y - x^2)=0
logo x=0 ou y=tfracx^22.
Da segunda:
-x^2 - y^5 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = -,y^5
Caso x=0 na primeira, a segunda dá -y^5=0, logo y=0.
Se y=tfracx^22, substituindo em x^2 = -y^5 temos
x^2 = -l(tfracx^22r)^5 ;Longrightarrow; x^2l(1 + tfracx^82^5r)=0
que só admite x=0 como solução real. Portanto o único ponto crítico é
(x,y)=(0,0)

Passo 3

Calculamos a Jacobiana
J(x,y) = partialx(2xy - x^3) & partialy(2xy - x^3)[6pt] partialx(-x^2 - y^5) & partialy(-x^2 - y^5) = 2y - 3x^2 & 2x -2x & -5y^4
e m (0,0) ela vira a matriz nula. Todos os autovalores são zero, ou seja, a linearização é inconclusiva.]

Passo 4

Para contornar a inconclusão, escolhemos a função de Lyapunov
V(x,y) = x^2 + 2,y^2,
que é positiva definida em torno de (0,0) (isto é, V>0 se (x,y)neq(0,0) e V(0,0)=0).

Passo 5

Calculamos a derivada de V ao longo das trajetórias:
dot V = 2x,dot x + 4y,dot y =2x,(2xy - x^3) + 4y,(-x^2 - y^5)
Agrupando termos,
dot V =4x^2y -2x^4 -4x^2y -4y^6 =-2x^4 -4y^6
Note que dot V<0 para todo (x,y)neq(0,0).

Passo 6

Como V é positiva definida e dot V é negativa definida, pelo critério de Lyapunov o ponto (0,0) é assintoticamente estável (na verdade, globalmente assintoticamente estável).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é assintoticamente estável.

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