Questão 3 Determine a estabilidade de todos os pontos críticos do seguinte sistema
Passo 1
Estamos diante de um sistema autônomo em
e queremos determinar a estabilidade de todos os pontos críticos. Para isso, vamos:
, ).
. Linearizar o sistema em cada ponto e verificar os autovalores. . Caso a linearização seja inconclusiva, recorrer a um Lyapunov para concluir a estabilidade.
Passo 2
Buscamos e .
Da primeira equação:
logo ou .
Da segunda:
Caso na primeira, a segunda dá , logo .
Se , substituindo em temos
que só admite como solução real. Portanto o único ponto crítico é
Passo 3
Calculamos a Jacobiana
e m (0,0) ela vira a matriz nula. Todos os autovalores são zero, ou seja, a linearização é inconclusiva.]
Passo 4
Para contornar a inconclusão, escolhemos a função de Lyapunov
V(x,y) = x^2 + 2,y^2,
que é positiva definida em torno de (0,0) (isto é, V>0 se (x,y)neq(0,0) e V(0,0)=0).
Passo 5
Calculamos a derivada de V ao longo das trajetórias:
dot V = 2x,dot x + 4y,dot y =2x,(2xy - x^3) + 4y,(-x^2 - y^5)
Agrupando termos,
dot V =4x^2y -2x^4 -4x^2y -4y^6 =-2x^4 -4y^6
Note que dot V<0 para todo (x,y)neq(0,0).
Passo 6
Como V é positiva definida e dot V é negativa definida, pelo critério de Lyapunov o ponto (0,0) é assintoticamente estável (na verdade, globalmente assintoticamente estável).
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e ele é assintoticamente estável.