Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(c) região interior à cardióide r=a(1+sen theta) e exterior ao círculo r=a sen theta. (resp. A= $\left.5 \pi a^{2} / 4\right) ;

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é interna à cardioide
r1=al(1+sinthetar)
e externa ao círculo
r2=asintheta
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=12integral l(rexterno^2-rinterno^2r),dtheta

Passo 2

Para ver como integrar, compare r1 e r2. Note que
r1-r2=al(1+sinthetar)-asintheta=a>0,
logo a cardioide está sempre “por fora” do círculo. Além disso, o círculo ,r2=asintheta só é descrito para sintheta>=0, isto é, para thetain[0,pi]. Então:
  • Para thetain[0,pi] a região é o anel entre r2 e r1.
  • Para thetain[pi,2pi] não há círculo “válido” (pois r2<=0), então a região é simplesmente o interior da cardioide.

Passo 3

Calcule a área A1 para thetain[0,pi] como diferença de raios:
A1 =12integral0^pil(r1^2-r2^2r),dtheta =12integral0^pia^2l((1+sintheta)^2-(sintheta)^2r),dtheta
Simplificando o integrando:
(1+sintheta)^2-(sintheta)^2 =1+2sintheta,
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A1 =a^22integral0^pil(1+2sinthetar),dtheta =a^22l[theta-2costhetar]0^pi =a^22l(pi+4r) =a^2l(pi2+2r)

Passo 4

Calcule a área A2 para thetain[pi,2pi] como interior da cardioide:
A2 =12integralpi^2pir1^2,dtheta =a^22integralpi^2pil(1+2sintheta+sin^2thetar),dtheta
Use sin^2theta=(1-cos2theta)/2 e integre:
integralpi^2pil(1+2sintheta+tfrac1-cos2theta2r),dtheta =3pi2-4,
logo
A2 =a^22l(3pi2-4r) =a^2l(3pi4-2r)

Passo 5

Some as duas partes:
A =A1+A2 =a^2l(pi2+2r)+a^2l(3pi4-2r) =a^2,5pi4

Resposta

A=5pi a^24

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