Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(c) região interior à cardióide
e exterior ao círculo
. (resp.
$\left.5 \pi a^{2} / 4\right) ;
(c) região interior à cardióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que é interna à cardioide
e externa ao círculo
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
Passo 2
Para ver como integrar, compare
e
. Note que
logo a cardioide está sempre “por fora” do círculo. Além disso, o círculo
só é descrito para
, isto é, para
. Então:
- Para
a região é o anel entre e . - Para
não há círculo “válido” (pois ), então a região é simplesmente o interior da cardioide.
Passo 3
Calcule a área
para
como diferença de raios:
Simplificando o integrando:
logo
Passo 4
Calcule a área
para
como interior da cardioide:
Use
e integre:
logo
Passo 5
Some as duas partes: