Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral(raiz2 x+1+1e^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integrall(raiz2x+1+1e^2xr),dx
O conteúdo principal é usar a linearidade da integral para separar em duas partes, depois aplicar:
  1. Substituição linear e regra de potências para integralraiz2x+1,dx.
  2. Regra de integração de exponencial integral e^ax,dx para integral e^-2x,dx.

Passo 2

Usamos a propriedade
integrall(f(x)+g(x)r),dx=integral f(x),dx+integral g(x),dx
para escrever
integrall(raiz2x+1+1e^2xr),dx =integralraiz2x+1,dx+integral e^-2x,dx

Passo 3

Calcular I1=integralraiz2x+1,dx.
Fazemos a substituição
u=2x+1Longrightarrow du=2,dxLongrightarrow dx=du2
Como raiz2x+1=u^1/2, temos
I1 =integral u^1/2,du2 =12integral u^1/2,du =12cdotu^3/2tfrac32 =12cdot23u^3/2 =13u^3/2
Voltando a x:
I1=13(2x+1)^3/2

Passo 4

Calcular I2=integral e^-2x,dx.
Usamos que
integral e^ax,dx=e^axa+C
Aqui a=-2, logo
I2=e^-2x-2 =-12e^-2x

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integrall(raiz2x+1+1e^2xr),dx =I1+I2+C =13(2x+1)^3/2-12e^-2x+C

Resposta

boxedintegrall(raiz2x+1+1e^2xr),dx =13(2x+1)^3/2-12e^-2x+C

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