Em cada caso, esboce a região e calcule sua área.
(i) região interior ao círculo r=sen theta e exterior à cardióide r=1-cos theta. (resp. A=1+pi / 4 ).

Passo 1

O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, é
– interior ao círculo r=sintheta (isto é, r<=sintheta),
– exterior à cardióide r=1-costheta (isto é, r>=1-costheta).
O método a usar é a fórmula da área em polares:
A=12integraltheta1^theta2l(rrm externo^2 - rrm interno^2r),dtheta

Passo 2

Encontramos os ângulos de interseção resolvendo
sintheta = 1-costheta ;Longrightarrow; sintheta + costheta = 1 ;Longrightarrow; raiz2sin!l(theta+tfracpi4r)=1
que dá theta=0 e theta=tfracpi2.

Passo 3

Para thetain[0,tfracpi2] verifica-se
sintheta>=1-costheta,
logo rrm externo=sintheta e rrm interno=1-costheta.

Passo 4

O integral da área fica
A =12integral0^pi/2l[sin^2theta - (1-costheta)^2r],dtheta
Expandindo
(1-costheta)^2=1-2costheta+cos^2theta e sin^2theta=1-cos2theta2,
temos
sin^2theta - (1-costheta)^2 =-1+2costheta-cos2theta
Assim
A =12integral0^pi/2l(-1+2costheta-cos2thetar),dtheta

Passo 5

Calculemos o integral
integral0^pi/2l(-1+2costheta-cos2thetar),dtheta =l[-theta+2sintheta-tfrac12sin2thetar]0^pi/2 =2-pi2
Portanto
A=12l(2-pi2r) =1-pi4

Resposta

A=1-pi4

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