Q 69 Usando a definição de derivada, mostre que:
😉

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1x^2, xneq0
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h = 1(x+h)^2 ;-;1x^2h

Passo 3

Unimos as frações do numerador sobre o mesmo denominador:
1(x+h)^2-1x^2 = x^2-(x+h)^2x^2(x+h)^2 = -l(2xh+h^2r)x^2(x+h)^2

Passo 4

Substituímos no quociente e cancelamos o fator h:
f(x+h)-f(x)h = -l(2xh+h^2r)h,x^2(x+h)^2 = -,2x+hx^2(x+h)^2

Passo 5

Fazendo hto0 no resultado acima, obtemos
f'(x) = limhto0l(-2x+hx^2(x+h)^2r) = -,2xx^2cdot x^2 = -,2x^3

Resposta

f'(x)=-2x^3

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