Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região delimitada por y=x, y=0, x=5 e x y=16 ; f=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD f(x,y),dx,dy com f=1 na região D limitada pelas curvas y=x, y=0, x=5 e xy=16. Vamos esboçar a região e usar integral dupla para obter a área.

Passo 2

Para entender o contorno de D, achamos os pontos de interseção: a reta y=x cruza a hipérbole xy=16 quando x^2=16, ou seja em (4,4). A hipérbole cruza x=5 em (5,16/5). Os vértices da região são (0,0), (4,4), (5,16/5) e (5,0). Note que para 0<= x<=4 temos y=x abaixo de y=16/x, e para 4<= x<=5 ocorre o inverso.

Passo 3

Para montar a integral dupla, dividimos em dois trechos em x:
integral duplaD1,dA=integral0^4integral0^xdy,dx+integral4^5integral0^16/xdy,dx

Passo 4

Calculando a primeira parte temos:
integral0^4integral0^xdy,dx=integral0^4x,dx=x^22|0^4=8
Para a segunda parte:
integral4^5integral0^16/xdy,dx=integral4^516x,dx=16l[ln xr]4^5=16ln54

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
integral duplaD1,dA=8+16ln54

Resposta

8+16\ln\frac{5}{4}

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