Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de
ao longo do contorno
, onde
e
são especificados em cada caso.
, ao longo do segmento retilíneo de zero a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral onde a função é
e o contorno
é o segmento de reta que vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de trajetórias no plano complexo, especificamente parametrização de caminhos e cálculo de integrais de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o contorno
. Parametrizar significa descrever o caminho
usando uma variável, geralmente
, que varia de 0 a 1. Como estamos indo de
até
, podemos escrever:
Assim, quando
,
, e quando
,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que será
. Vamos calcular:
Essa derivada nos dá o “vetor tangente” ao caminho no ponto
.
Passo 4
A seguir, calculamos a magnitude de
, que é
. Para um número complexo
, a magnitude é:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 5
Agora, montamos a integral de
ao longo de
usando a parametrização:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 6
Calculamos a integral de
de 0 a 1:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral de
ao longo do segmento retilíneo de
a
é: