Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=|z|, ao longo do segmento retilíneo de zero a -2+3 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral onde a função é e o contorno é o segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de trajetórias no plano complexo, especificamente parametrização de caminhos e cálculo de integrais de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno z(t) = t cdot (-2 + 3i), t in [0, 1] . Parametrizar significa descrever o caminho usando uma variável, geralmente , que varia de 0 a 1. Como estamos indo de até , podemos escrever:
Assim, quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdt = -2 + 3i em relação a , que será . Vamos calcular:
Essa derivada nos dá o “vetor tangente” ao caminho no ponto .

Passo 4

A seguir, calculamos a magnitude de |z| = raizx^2 + y^2 , que é |z(t)| = raiz(-2t)^2 + (3t)^2 = raiz4t^2 + 9t^2 = raiz13t^2 = raiz13 , t . Para um número complexo , a magnitude é:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 5

Agora, montamos a integral de integralC |z| , dz = integral0^1 |z(t)| cdot dzdt , dt ao longo de integral0^1 raiz13 , t cdot (-2 + 3i) , dt = raiz13 (-2 + 3i) integral0^1 t , dt usando a parametrização:
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 6

Calculamos a integral de integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12 de 0 a 1:
raiz13 (-2 + 3i) cdot 12 = raiz132 (-2 + 3i)
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral de integralC |z| , dz = raiz132 (-2 + 3i) ao longo do segmento retilíneo de a é:

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