Determine:
o comprimento do arco que liga os pontos e ;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma equação vetorial e precisamos encontrar o comprimento do arco que liga dois pontos específicos dessa curva: e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo do comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o parâmetro correspondente aos pontos e . A equação vetorial da curva é dada por:
Para encontrar o valor de que corresponde a cada ponto, igualamos as coordenadas de e às componentes da equação vetorial.
Para o ponto :
Componente :
Componente : (confirmação)
Componente : (confirmação)
Então, .
Passo 3
Agora, para o ponto :
Componente :
Componente : (confirmação)
Componente : (confirmação)
Então, .
Passo 4
Agora que temos os valores de para os pontos e , podemos calcular o comprimento do arco entre eles. A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por de a é:
Onde é a derivada da função vetorial , e é a norma (ou magnitude) dessa derivada.
Passo 5
Vamos calcular a derivada :
Passo 6
Agora, calculamos a norma de :
Observando a expressão , podemos simplificar usando a identidade , onde é a função cosseno hiperbólico. Portanto:
Utilizando a identidade , substituímos na expressão:
Passo 7
Agora, substituímos a norma na integral do comprimento de arco:
A integral de é , onde é a função seno hiperbólico. Portanto: