Considere a curva C de equação vetorial dada por
r(t)=raiz2 t i+e^t j+e^-t k
Determine:
o comprimento do arco que liga os pontos P=(0,1,1) e Q=(raiz2 ln 2,2,1 / 2);

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva C definida por uma equação vetorial e precisamos encontrar o comprimento do arco que liga dois pontos específicos dessa curva: P=(0,1,1) e Q=(raiz2 ln 2,2,1/2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo do comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o parâmetro t correspondente aos pontos P e Q. A equação vetorial da curva é dada por:
r(t) = raiz2 t , i + e^t , j + e^-t , k
Para encontrar o valor de t que corresponde a cada ponto, igualamos as coordenadas de P e Q às componentes da equação vetorial.
Para o ponto P=(0,1,1):
  • Componente x: 0 = raiz2 t Rightarrow t = 0
  • Componente y: 1 = e^0 = 1 (confirmação)
  • Componente z: 1 = e^-0 = 1 (confirmação)
Então, tP = 0.

Passo 3

Agora, para o ponto Q=(raiz2 ln 2,2,1/2):
  • Componente x: raiz2 ln 2 = raiz2 t Rightarrow t = ln 2
  • Componente y: 2 = e^ln 2 = 2 (confirmação)
  • Componente z: 1/2 = e^-ln 2 = 1/2 (confirmação)
Então, tQ = ln 2.

Passo 4

Agora que temos os valores de t para os pontos P e Q, podemos calcular o comprimento do arco entre eles. A fórmula para o comprimento de arco L de uma curva parametrizada por t de a a b é:
L = integrala^b |r'(t)| , dt
Onde r'(t) é a derivada da função vetorial r(t), e |r'(t)| é a norma (ou magnitude) dessa derivada.

Passo 5

Vamos calcular a derivada r'(t):
r'(t) = ddt( raiz2 t , i + e^t , j + e^-t , k ) = raiz2 , i + e^t , j - e^-t , k

Passo 6

Agora, calculamos a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz (raiz2)^2 + (e^t)^2 + (-e^-t)^2 = raiz2 + e^2t + e^-2t
Observando a expressão e^2t + e^-2t, podemos simplificar usando a identidade e^2t + e^-2t = 2 cosh(2t), onde cosh é a função cosseno hiperbólico. Portanto:
|r'(t)| = raiz2 + 2 cosh(2t)
Utilizando a identidade cosh(2t) = 2 cosh^2(t) - 1, substituímos na expressão:
raiz2 + 2(2 cosh^2(t) - 1) = raiz4 cosh^2(t) = 2 cosh(t)

Passo 7

Agora, substituímos a norma na integral do comprimento de arco:
L = integral0^ln 2 2 cosh(t) , dt
A integral de cosh(t) é sinh(t), onde sinh é a função seno hiperbólico. Portanto:
L = 2 sinh(t) |0^ln 2 = 2 ( sinh(ln 2) - sinh(0) )
Sabemos que sinh(0) = 0, então:
L = 2 sinh(ln 2)

Passo 8

Calculamos sinh(ln 2) usando a definição de sinh:
sinh(ln 2) = e^ln 2 - e^-ln 22 = 2 - 122 = 322 = 34
Portanto:
L = 2 times 34 = 32

Resposta

O comprimento do arco que liga os pontos P e Q é 32 unidades.

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