Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região retangular de vértices (-1,-1),(2,-1),(2,4) e (-1,4) ; f=2 x+y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD(2x+y),dx,dy, onde D é o retângulo com vértices (-1,-1),(2,-1),(2,4),(-1,4). Vamos usar integração dupla por iterações nos eixos x e y.

Passo 2

Para esboçar D, marcamos no plano os pontos (-1,-1),(2,-1),(2,4),(-1,4) e ligamos formando um retângulo. Isso mostra que
D=(x,y)mid -1<= x<= 2,,-1<= y<= 4

Passo 3

A integral dupla vira uma integral iterada em que podemos primeiro integrar em y e depois em x. Assim:
integral duplaD(2x+y),dx,dy= integralx=-1^2gl(integraly=-1^4(2x+y),dygr)dx

Passo 4

Na integral interna em y tratamos x como constante. Calculando:
integraly=-1^4(2x+y),dy =l[2x,y+tfracy^22r]y=-1^4 =l(8x+8r)-l(-2x+tfrac12r) =10x+tfrac152

Passo 5

Agora fazemos a integral externa em x:
integralx=-1^2l(10x+tfrac152r)dx =l[5x^2+tfrac152xr]x=-1^2 =l(20+15r)-l(5-tfrac152r) =35-l(tfrac102-tfrac152r) =35+tfrac52=tfrac752

Resposta

dfrac752

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