Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f^prime(x0) :
a) f(x)=l-3 x, x <= 2 x-8, x>2 (x0=2)

Passo 1

A função em questão é definida por partes como f(x)=-3x,&x<=2x-8,&x>2 e queremos saber se ela é derivável em x0=2. Esse tema envolve a definição de derivada pelo limite do quociente de diferença e a verificação das derivadas laterais.

Passo 2

O primeiro passo é garantir que a função seja contínua em x0=2, pois derivabilidade exige continuidade. Calculamos as imagens laterais e o valor no ponto:
limxto 2^-f(x)=f(2)= -3cdot2 = -6
limxto 2^+f(x)=2-8 = -6
Ambos os limites laterais são iguais a -6, e f(2)=-6, então f é contínua em x=2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral à esquerda usando a definição de derivada:
f- (2)=limhto 0^- f(2+h)-f(2)h =limhto 0^--3(2+h)-(-6)h =limhto 0^--6-3h+6h =limhto 0^--3hh =-3

Passo 4

Em seguida, a derivada lateral à direita:
f+ (2)=limhto 0^+ f(2+h)-f(2)h =limhto 0^+(2+h)-8-(-6)h =limhto 0^+-6+h+6h =limhto 0^+hh =1

Passo 5

Como f- (2)=-3 e f+ (2)=1 são diferentes, a derivada não existe em x=2.

Resposta

A função não é derivável em x0=2 porque as derivadas laterais são distintas ( -3 e 1).

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