Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
. Utilize uma mudança de coordenadas, se necessário.
(e)
é a região triangular de vértices
e
(e)
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
onde
é o triângulo de vértices
,
e
.
O que vamos usar é uma mudança de variável linear que leva o triângulo canônico
O que vamos usar é uma mudança de variável linear que leva o triângulo canônico
em
. Precisamos então: definir a parametrização
, calcular o jacobiano, reescrever
em termos de
e integrar sobre
.
Passo 2
Escolhemos como ponto base
e vetores geradores
e
. Logo a parametrização é
com
. O jacobiano é
Passo 3
Em termos de
u,v temos
logo
Assim a integral fica
Passo 4
Como
T é dado por
0<= u<=1-v ,
0<= v<=1 , temos
Calculando
segue que o integrando interno é
Portanto
Passo 5
Expandindo
v(1-v)(1-6v)=v -7v^2+6v^3 , obtemos
Multiplicando pelos fatores externos: