Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A. Utilize uma mudança de coordenadas, se necessário.
(g) D é a região delimitada por y=x^2 / 2, e y=x ; f=x(x^2+y^2)^-1

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaD f(x,y),dA
onde D é a região no plano limitada pelas curvas
y = x^22 e y = x
e a função integranda é
f(x,y) = xx^2 + y^2,
O conteúdo usado será mudança para coordenadas polares, pois a presença de x^2+y^2 sugere simplificação nesse sistema.

Passo 2

Primeiro esboçamos D. As duas curvas se intersectam quando
x^22 = x Longrightarrow x,(x - 2)=0 Longrightarrow x=0 ou 2
Para 0<= x<=2, o gráfico de y=x^2/2 fica abaixo de y=x. Logo, em coordenadas cartesianas
D = l(x,y)mid 0<= x<=2,;tfracx^22<= y<= xr

Passo 3

Em coordenadas cartesianas a integral seria
integralx=0^2integraly=x^2/2^xxx^2+y^2,dy,dx,
e não há antiderivada elementar simples em y. Por isso adotamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 4

Traduzimos as curvas para polares. Da reta y=x vem
tantheta = 1 Longrightarrow theta = pi4
Da parábola y = x^2/2 obtemos
rsintheta = (rcostheta)^22 Longrightarrow r = 2sinthetacos^2theta,
para costhetaneq0. No esboço vemos que theta varia de 0 até pi/4, e para cada theta o r vai de 0 até
r(theta) = 2sinthetacos^2theta

Passo 5

Em polares a integranda fica
f(x,y) = rcosthetar^2 = costhetar,
e o elemento de área é r,dr,dtheta. Portanto
f(x,y),dA = costhetar;r,dr,dtheta = costheta,dr,dtheta

Passo 6

A integral sobre D em polares é
integraltheta=0^pi/4integralr=0^tfrac2sinthetacos^2theta costheta,dr,dtheta =integral0^pi/4costhetal[rr]0^tfrac2sinthetacos^2thetadtheta =integral0^pi/4costheta;2sinthetacos^2theta,dtheta =2integral0^pi/4tantheta,dtheta
Sabendo que
integraltantheta,dtheta = -lnl|costhetar|,
temos
2l[-lnl(costhetar)r]0^pi/4 =2l[-ln(tfracraiz22)+ln(1)r] =2l(tfrac12ln2r) =ln2

Resposta

O valor da integral é ln2.

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