Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
. Utilize uma mudança de coordenadas, se necessário.
(g)
é a região delimitada por
, e
(g)
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
onde
é a região no plano limitada pelas curvas
e a função integranda é
O conteúdo usado será mudança para coordenadas polares, pois a presença de
sugere simplificação nesse sistema.
Passo 2
Primeiro esboçamos
. As duas curvas se intersectam quando
Para
, o gráfico de
fica abaixo de
. Logo, em coordenadas cartesianas
Passo 3
Em coordenadas cartesianas a integral seria
e não há antiderivada elementar simples em
. Por isso adotamos coordenadas polares:
Passo 4
Traduzimos as curvas para polares. Da reta
vem
Da parábola
obtemos
para
. No esboço vemos que
varia de
até
, e para cada
o
vai de
até
Passo 5
Em polares a integranda fica
e o elemento de área é
. Portanto
Passo 6
A integral sobre
em polares é
Sabendo que
temos
Resposta
O valor da integral é
ln2 .