Calcule as primitivas abaixo:
integral x+1x^2(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função racional
integral x+1x^2(x^2+4)^2,dx
Como o integrando é uma fração racional imprópria com x^2 e (x^2+4)^2 no denominador, vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Suponha a forma
x+1x^2(x^2+4)^2 =Ax+Bx^2 +C x+Dx^2+4 +E x+F(x^2+4)^2
Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2+4)^2 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos cinco equações para A,B,C,D,E,F.

Passo 3

As igualdades das potências de x dão
16A=1, 16B=1, A+C=0, B+D=0, 8A+4C+E=0, 8B+4D+F=0
Resolvendo:
A=tfrac116, B=tfrac116, C=-tfrac116, D=-tfrac116, E=-tfrac14, F=-tfrac14
Logo
x+1x^2(x^2+4)^2 =116x+116x^2 -x+116(x^2+4) -x+14(x^2+4)^2

Passo 4

Integramos os três primeiros termos:
integral116x,dx=116ln|x|, integral116x^2,dx=-116x,
-116integralx+1x^2+4,dx =-116l(integralxx^2+4,dx+integral1x^2+4,dxr)
Usamos
integralxx^2+4,dx=12ln(x^2+4), integral1x^2+4,dx=12arctan!l(tfrac x2r),
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-116l(12ln(x^2+4)+12arctan!l(tfrac x2r)r) =-132ln(x^2+4);-;132arctan!l(tfrac x2r)

Passo 5

Falta
-14integralx+1(x^2+4)^2,dx
Separe
integralx(x^2+4)^2,dx e integral1(x^2+4)^2,dx
Para a primeira, use u=x^2+4, chegando a
integralx(x^2+4)^2,dx =-12(x^2+4)
Para a segunda usa-se a primitiva conhecida
integraldx(x^2+a^2)^2 =x2a^2(x^2+a^2)+12a^3arctan!l(tfrac x ar) (a=2),
isto é,
integraldx(x^2+4)^2 =x8(x^2+4)+116arctan!l(tfrac x2r)
Somando:
integralx+1(x^2+4)^2,dx =-12(x^2+4)+x8(x^2+4)+116arctan!l(tfrac x2r) =4-x8(x^2+4)+116arctan!l(tfrac x2r)
Multiplicando por -tfrac14:
-14integralx+1(x^2+4)^2,dx =4-x32(x^2+4)-164arctan!l(tfrac x2r)

Passo 6

Juntando tudo:
F(x)=116ln|x|-116x -132ln(x^2+4) -132arctan!l(tfrac x2r) +4-x32(x^2+4) -164arctan!l(tfrac x2r) +C
Agrupando o termo de arctan:
-132-164=-364,
resultando em
F(x) =116ln|x|-116x -132ln(x^2+4) +4-x32(x^2+4) -364arctan!l(tfrac x2r) +C

Resposta

boxed 116ln|x|-116x -132ln(x^2+4) +4-x32(x^2+4) -364arctan!l(tfrac x2r) +C

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