Calcule as primitivas abaixo:
integral 2 x(1+x)^2015 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral 2,x,(1+x)^2015,dx
Isso envolve integrar um produto de uma função polinomial em x com uma potência de (1+x). Uma forma eficiente é usar a técnica de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = 1 + x,
pois a derivada de t simplifica a parte (1+x)^2015. Então
dt = dx e x = t - 1

Passo 3

Substituindo x = t-1 e dx = dt na integral, temos
2,x,(1+x)^2015,dx = 2,(t-1),t^2015,dt = 2l(t^2016 - t^2015r),dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 2l(t^2016 - t^2015r),dt = 2integral t^2016,dt ;-; 2integral t^2015,dt
Cada potência é integrada pela regra integral t^n,dt = t^n+1/(n+1).

Passo 5

Aplicando a fórmula, obtemos
2integral t^2016,dt = 2cdott^20172017, 2integral t^2015,dt = 2cdott^20162016
Logo a primitiva em t é
2,t^20172017 ;-; 2,t^20162016 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x usando t=1+x:
integral 2,x,(1+x)^2015,dx = 22017,(1+x)^2017 - 22016,(1+x)^2016 + C

Resposta

integral 2,x,(1+x)^2015,dx = 22017,(1+x)^2017 - 22016,(1+x)^2016 + C

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