Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integraly-1^0 e^x+y,dx,dy
e esboçar a região de integração. O conteúdo principal é mudança de ordem ou integração iterada de funções exponenciais. Vamos primeiro descrever a região e depois calcular a integral iterando em x e em y.

Passo 2

A região R é
R = (x,y)mid 0<= y<= 1,;y-1<= x<= 0
No plano xy ela é limitada pelas retas
x=0, x=y-1, y=0, y=1
É um paralelogramo inclinando-se sobre a vertical x=0.

Passo 3

Integramos primeiro em x:
integraly-1^0 e^x+y,dx = e^yintegraly-1^0 e^x,dx = e^yl[e^xr]x=y-1^x=0 = e^yl(1 - e^,y-1r)

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1 e^yl(1 - e^,y-1r),dy =integral0^1 e^y,dy ;-;integral0^1 e^2y-1,dy
Para a primeira parcela
integral0^1 e^y,dy =l[e^yr]0^1 =e-1
Para a segunda
integral0^1 e^2y-1,dy =12l[e^2y-1r]0^1 =12l(e^1-e^-1r)
Logo o valor total é
(e-1);-;12l(e - e^-1r) =e2-1+e^-12 =e + e^-12-1

Resposta

e + e^-12 - 1

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