Determine os pontos nos quais as seguintes funções assumem seus valores máximos e mínimos.
na região
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos de
na região fechada e limitada
na região fechada e limitada
que é o disco de centro
e raio
. Como
é contínua e a região é compacta, os extremos ocorrem em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou na fronteira.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Igualando a zero, obtemos
e
, mas
não pertence ao disco
. Portanto não há extremos internos.
Passo 3
Na fronteira temos
. Em vez de otimizar diretamente
, notamos que
é decrescente em
. Logo
-
atinge máximo quando é mínimo, -
atinge mínimo quando é máximo.
Na fronteira parametrize
então
Passo 4
Analisando
:
- Mínimo de
ocorre quando ( ), dando . O ponto é
e
é o valor máximo de
.
- Máximo de
ocorre quando ( ), dando . O ponto é
e
é o valor mínimo de
.
Resposta
O valor máximo de
é
, atingido em
.
O valor mínimo de é
, atingido em
.
O valor mínimo de