Determine os pontos nos quais as seguintes funções assumem seus valores máximos e mínimos.
f(x, y)=1x^2+y^2 na região (x-2)^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos de
f(x,y)=1x^2+y^2
na região fechada e limitada
(x-2)^2+y^2<=1,
que é o disco de centro (2,0) e raio 1. Como f é contínua e a região é compacta, os extremos ocorrem em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou na fronteira.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
partial fpartial x =-2x(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =-2y(x^2+y^2)^2
Igualando a zero, obtemos x=0 e y=0, mas (0,0) não pertence ao disco (x-2)^2+y^2<=1. Portanto não há extremos internos.

Passo 3

Na fronteira temos (x-2)^2+y^2=1. Em vez de otimizar diretamente f, notamos que f é decrescente em r^2=x^2+y^2>0. Logo
  • f atinge máximo quando r^2 é mínimo,
  • f atinge mínimo quando r^2 é máximo.
Na fronteira parametrize
x-2=cos t, y=sin t,
então
r^2=x^2+y^2=(2+cos t)^2+sin^2 t =5+4cos t

Passo 4

Analisando r^2=5+4cos t:
  • Mínimo de r^2 ocorre quando cos t=-1 ( t=pi), dando r^2=5-4=1. O ponto é
x=2+cospi=1, y=0,
e
f(1,0)=11^2+0^2=1
é o valor máximo de f.
  • Máximo de r^2 ocorre quando cos t=1 ( t=0), dando r^2=5+4=9. O ponto é
x=2+cos0=3, y=0,
e
f(3,0)=13^2+0^2=19
é o valor mínimo de f.

Resposta

O valor máximo de f é 1, atingido em (1,0).
O valor mínimo de f é tfrac19, atingido em (3,0).

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