Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla em coordenadas cartesianas
– estamos lidando com integração dupla sobre uma região plana e, se for útil, podemos inverter a ordem.
– estamos lidando com integração dupla sobre uma região plana e, se for útil, podemos inverter a ordem.
Passo 2
A região R é dada por
Isso é a metade superior da elipse
(porque
).
Passo 3
Mantendo a ordem original, primeiro integramos em
:
Logo a integral vira
Passo 4
Para
usamos a substituição
Então
Passo 5
Para conferir, invertendo a ordem as projeções são
Fazendo
vemos que dá também , confirmando o resultado.
vemos que dá também