Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla em coordenadas cartesianas

– estamos lidando com integração dupla sobre uma região plana e, se for útil, podemos inverter a ordem.

Passo 2

A região R é dada por
0 <= y <= raiz2, -raiz4-2y^2 <= x <= raiz4-2y^2
Isso é a metade superior da elipse x^2+2y^2=4 (porque y>=0).

Passo 3

Mantendo a ordem original, primeiro integramos em x:
integral-raiz4-2y^2^raiz4-2y^2 y,dx = y cdot l[2raiz4-2y^2r] = 2yraiz4-2y^2
Logo a integral vira
integral0^raiz2 2yraiz4-2y^2,dy

Passo 4

Para integral0^raiz22yraiz4-2y^2,dy usamos a substituição
2y,dy = -tfrac12,du
integral0^raiz22yraiz4-2y^2,dy = -tfrac12integralu(0)=4^u(raiz2)=0u^1/2,du = -tfrac12cdot 23l[u^3/2r]4^0 = 83
Então

Passo 5

Para conferir, invertendo a ordem as projeções são
-2 <= x <= 2, 0 <= y <= raiztfrac4-x^22
Fazendo
8/3
vemos que dá também , confirmando o resultado.

Resposta

dfrac83

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