Considere o problema de valor inicial
Encontre a solução em função de
e depois determine o valor crítico de
que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
Passo 1
O problema é um EDO linear homogêneo de 2º ordem com coeficientes constantes
, com condições iniciais
e
. Vamos usar o método de equação característica para resolver.
Passo 2
Montamos a equação característica associada substituindo
. Assim, obtemos
Resolvendo, vemos que o discriminante
, indicando raiz dupla
.
Passo 3
Como a raiz
é dupla, a solução geral é dada por
Esse é o resultado típico quando há multiplicidade 2.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
. Depois, calculamos
. Derivando obtemos
Passo 5
Avaliaremos em
. Fica
. Como
, segue
e então
.
Passo 6
Com isso, a solução é
Passo 7
Para entender o comportamento para
, note que
cresce exponencialmente e o fator
cresce como uma reta em
. Se
, o produto cresce positivamente. Se
, a parte linear fica negativa para
grande, fazendo
crescer em módulo, mas negativo.
Passo 8
Portanto, o valor crítico ocorre quando
, ou seja,
.
Resposta
b = 1