Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime-4 y^prime+y=0, y(0)=2, y^prime(0)=b
Encontre a solução em função de b e depois determine o valor crítico de b que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.

Passo 1

O problema é um EDO linear homogêneo de 2º ordem com coeficientes constantes 4y'' - 4y' + y = 0, com condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = b. Vamos usar o método de equação característica para resolver.

Passo 2

Montamos a equação característica associada substituindo y = e^rt. Assim, obtemos
4r^2 - 4r + 1 = 0
Resolvendo, vemos que o discriminante De, indicando raiz dupla r = tfrac12.

Passo 3

Como a raiz r=tfrac12 é dupla, a solução geral é dada por
y(t) = C1 e^tfrac t2 + C2,t,e^tfrac t2
Esse é o resultado típico quando há multiplicidade 2.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0) = C1 = 2. Depois, calculamos y'(t). Derivando obtemos
y'(t) = C1,tfrac12 e^tfrac t2 + C2 e^tfrac t2 + C2,t,tfrac12 e^tfrac t2

Passo 5

Avaliaremos em t=0. Fica y'(0) = C1,tfrac12 + C2 = 1 + C2. Como y'(0)=b, segue 1 + C2 = b e então C2 = b - 1.

Passo 6

Com isso, a solução é
y(t) = l(2 + (b-1),tr)e^tfrac t2

Passo 7

Para entender o comportamento para ttoinfty, note que e^t/2 cresce exponencialmente e o fator (2 + (b-1)t) cresce como uma reta em t. Se b-1>0, o produto cresce positivamente. Se b-1<0, a parte linear fica negativa para t grande, fazendo y(t) crescer em módulo, mas negativo.

Passo 8

Portanto, o valor crítico ocorre quando b-1 = 0, ou seja, b=1.

Resposta

b = 1

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