Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
(x, y, z) in R^3 tais que:
x^2-y^2=1;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície em R^3 dada por
x^2-y^2=1
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas. Para desenhar, vamos analisar cortes por planos paralelos ao plano xy (isto é, planos z=z0) e depois ver como a variável z “extrude” essa curva no espaço.

Passo 2

Em cada plano z=z0, com z0 fixo, a equação torna-se
x^2-y^2=1,
que é uma hipérbole de duas folhas no plano xy. Os vértices estão em (1,0,z0) e (-1,0,z0), e os ramos abrem-se para xto+infty e xto-infty.

Passo 3

Como não há dependência de z na equação, toda ponto da hipérbole em cada plano z=z0 estende-se para todos os valores de z. Em outras palavras, a hipérbole é “extrudada” ao longo do eixo z, formando um cilindro hiperbólico. Uma parametrização para os dois ramos é, por exemplo,
rpm(u,v)=l(pmcosh(u),,sinh(u),,vr), uinR,;vinR

Passo 4

Para esboçar, primeiro desenhe a hipérbole x^2-y^2=1 no plano xy. Em seguida, em cada ponto dessa curva trace uma reta paralela ao eixo z. O conjunto dessas retas forma um cilindro hiperbólico com dois ramos desconectados, estendendo-se infinitamente para cima e para baixo no sentido de z.

Resposta

A superfície é um cilindro hiperbólico de equação
x^2-y^2=1,
isto é, a hipérbole no plano xy extrudada ao longo do eixo z, com dois ramos (um para x>=1 e outro para x<=-1).

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