Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície em
dada por
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas. Para desenhar, vamos analisar cortes por planos paralelos ao plano
(isto é, planos
) e depois ver como a variável
“extrude” essa curva no espaço.
Passo 2
Em cada plano
, com
fixo, a equação torna-se
que é uma hipérbole de duas folhas no plano
. Os vértices estão em
e
, e os ramos abrem-se para
e
.
Passo 3
Como não há dependência de
na equação, toda ponto da hipérbole em cada plano
estende-se para todos os valores de
. Em outras palavras, a hipérbole é “extrudada” ao longo do eixo
, formando um cilindro hiperbólico. Uma parametrização para os dois ramos é, por exemplo,
Passo 4
Para esboçar, primeiro desenhe a hipérbole
no plano
. Em seguida, em cada ponto dessa curva trace uma reta paralela ao eixo
. O conjunto dessas retas forma um cilindro hiperbólico com dois ramos desconectados, estendendo-se infinitamente para cima e para baixo no sentido de
.
Resposta
A superfície é um cilindro hiperbólico de equação
isto é, a hipérbole no plano
extrudada ao longo do eixo
, com dois ramos (um para
e outro para
).