Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em
definida por
Estamos no tema de superfícies quádricas e vamos identificar cortes da superfície por planos coordenados para entender sua forma.
Passo 2
Corte por planos horizontais
. Substituindo em
obtemos
ou seja, para cada
a interseção é um círculo de raio
. Em particular, no plano
temos um círculo de raio 1, e para
crescente o círculo cresce.
Passo 3
Corte por planos verticais
. Substituindo em
com
dá
que é uma hipérbole no plano
. Os ramos estão abertos ao longo do eixo
.
Passo 4
De modo análogo, no plano
a equação vira
outra hipérbole, agora com ramos abertos ao longo do eixo
.
Passo 5
Juntando esses cortes vemos uma superfície contínua que em
apresenta “gargalo” circular de raio 1 e à medida que
cresce ela se abre; nas projeções verticais dá hipérboles. Essa é a forma típica de um hiperbolóide de uma folha simétrico em relação ao plano
e ao eixo
.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha axial em
. O esboço mostra um “gargalo” circular de raio 1 no plano
e ramos que se abrem para cima e para baixo, com secções horizontais circulares de raio
.