Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
(x, y, z) in R^3 tais que:
x^2+y^2-z^2=1;

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em R^3 definida por
x^2 + y^2 - z^2 = 1
Estamos no tema de superfícies quádricas e vamos identificar cortes da superfície por planos coordenados para entender sua forma.

Passo 2

Corte por planos horizontais z = k. Substituindo em ;x^2 + y^2 - z^2 = 1; obtemos
x^2 + y^2 = 1 + k^2,
ou seja, para cada kinR a interseção é um círculo de raio raiz1 + k^2. Em particular, no plano z=0 temos um círculo de raio 1, e para lvert zrvert crescente o círculo cresce.

Passo 3

Corte por planos verticais y = 0. Substituindo em ;x^2 + y^2 - z^2 = 1; com y=0
x^2 - z^2 = 1,
que é uma hipérbole no plano xz. Os ramos estão abertos ao longo do eixo x.

Passo 4

De modo análogo, no plano x = 0 a equação vira
y^2 - z^2 = 1,
outra hipérbole, agora com ramos abertos ao longo do eixo y.

Passo 5

Juntando esses cortes vemos uma superfície contínua que em z=0 apresenta “gargalo” circular de raio 1 e à medida que lvert zrvert cresce ela se abre; nas projeções verticais dá hipérboles. Essa é a forma típica de um hiperbolóide de uma folha simétrico em relação ao plano z=0 e ao eixo z.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha axial em z. O esboço mostra um “gargalo” circular de raio 1 no plano z=0 e ramos que se abrem para cima e para baixo, com secções horizontais circulares de raio raiz1 + z^2.

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