Resolva o problema de valor inicial em cada caso.
2 y^prime prime-7 y^prime-4 y=0, y(0)=1 e y^prime(0)=-1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial
2y'' - 7y' - 4y = 0,
com as condições y(0)=1 e y'(0)=-1. Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos formar a equação característica, encontrar suas raízes, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na EDO, vem a equação característica
2r^2 - 7r - 4 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
r = 7 pm raiz49 + 324 = 7 pm 94,
portanto
r1 = 4, r2 = -tfrac12

Passo 3

Com raízes distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x/2
Derivando,
y'(x) = 4C1 e^4x - tfrac12 C2 e^-x/2
Impondo y(0)=1 e y'(0)=-1 obtemos o sistema
C1 + C2 = 1, 4C1 - tfrac12 C2 = -1
Multiplicando a segunda por 2 dá 8C1 - C2 = -2. Somando com C1 + C2 = 1 resulta em 9C1 = -1, logo C1 = -tfrac19 e C2 = 1 - C1 = tfrac109.

Resposta

y(x) = -tfrac19e^4x + tfrac109e^-x/2

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