Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em
e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências centrada em
da função
além de determinar seu raio de convergência e intervalo de convergência. O conteúdo usado será a série geométrica.
Passo 2
Recordando a série geométrica básica: para
vale
Passo 3
Aqui temos
e um fator
no numerador, logo
Passo 4
A condição de convergência é
, ou seja
portanto o raio de convergência é
Passo 5
O intervalo de convergência aberto é
Nos extremos
a série não converge (os termos não tendem a zero ou a soma é constante divergente), então o intervalo final de convergência é
.
Resposta
Série de potências:
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: