Instrução: Para cada função abaixo, encontre sua representação como série de potências centrada em a=0 e determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
(b) g(x)=31-4 x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências centrada em a=0 da função
g(x)=31-4x,
além de determinar seu raio de convergência e intervalo de convergência. O conteúdo usado será a série geométrica.

Passo 2

Recordando a série geométrica básica: para lvert urvert<1 vale
11-u=sumn=0^inftyu^n

Passo 3

Aqui temos u=4x e um fator 3 no numerador, logo
g(x)=31-4x=3sumn=0^infty(4x)^n =sumn=0^infty3cdot4^nx^n

Passo 4

A condição de convergência é lvert4xrvert<1, ou seja
lvert xrvert<14,
portanto o raio de convergência é
R=14

Passo 5

O intervalo de convergência aberto é
-,14<x<14
Nos extremos x=pm14 a série não converge (os termos não tendem a zero ou a soma é constante divergente), então o intervalo final de convergência é l(-tfrac14,,tfrac14r).

Resposta

Série de potências:
g(x)=sumn=0^infty3cdot4^nx^n
Raio de convergência: R=tfrac14
Intervalo de convergência: l(-tfrac14,,tfrac14r).

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