Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função z e^{1/z} e queremos encontrar a expansão de Laurent em torno de z=0 para identificar a parte principal e classificar a singularidade isolada (polo, essencial ou removível). O conteúdo aqui é séries de Laurent e classificação de singularidades.
Passo 2
Lembrando que a série de Taylor de e^w é
. Fazendo
, obtemos a expansão de Laurent de e^{1/z} em torno de z=0:
.
Multiplicamos essa série por z para achar a expansão de z e^{1/z}:
Multiplicamos essa série por z para achar a expansão de z e^{1/z}:
Passo 3
A parte principal é composta por todos os termos de potência negativa em z, isto é, aqueles com expoente 1−n<0, ou seja, n≥2. Logo:
Passo 4
Como há infinitos termos na parte principal, não temos um polo de ordem finita nem singularidade removível. Concluímos que z=0 é uma singularidade essencial.
Resposta
A parte principal da expansão de Laurent de z e^{1/z} em torno de z=0 é
Como há infinitos termos negativos, z=0 é uma singularidade essencial.