Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
z e^1 / z

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função z e^{1/z} e queremos encontrar a expansão de Laurent em torno de z=0 para identificar a parte principal e classificar a singularidade isolada (polo, essencial ou removível). O conteúdo aqui é séries de Laurent e classificação de singularidades.

Passo 2

Lembrando que a série de Taylor de e^w é e^w=sumn=0^inftyw^nn!. Fazendo w=1/z, obtemos a expansão de Laurent de e^{1/z} em torno de z=0: e^1/z=sumn=0^infty1n!z^-n.
Multiplicamos essa série por z para achar a expansão de z e^{1/z}:
z,e^1/z=sumn=0^infty1n!z^1-n

Passo 3

A parte principal é composta por todos os termos de potência negativa em z, isto é, aqueles com expoente 1−n<0, ou seja, n≥2. Logo:
parte principal= sumn=2^infty1n!z^1-n= 12!z^-1+13!z^-2+cdots

Passo 4

Como há infinitos termos na parte principal, não temos um polo de ordem finita nem singularidade removível. Concluímos que z=0 é uma singularidade essencial.

Resposta

A parte principal da expansão de Laurent de z e^{1/z} em torno de z=0 é
sumn=2^infty1n!z^1-n=12!z^-1+13!z^-2+cdots
Como há infinitos termos negativos, z=0 é uma singularidade essencial.

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