Em cada caso escreva uma primitiva(uma funçāo cuja derivada é a função dada) da função:
f(x)=\frac{\cos (2 x)}{2}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=\frac{\cos(2x)}{2}.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas; em particular usaremos a regra
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C.

Passo 2

Escrevemos a integral que define a primitiva e fatoramos a constante 1/2:
\int f(x)\,dx = \int \frac{\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\int \cos(2x)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de integração do cosseno com a=2:
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x).

Passo 4

Substituindo de volta e somando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) + C = \frac{1}{4}\sin(2x) + C.
Podemos conferir que
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{4}\sin(2x)\Bigr) = \tfrac{1}{4}\cdot2\cos(2x) = \frac{\cos(2x)}{2},
portanto está correto.

Resposta

F(x) = \frac{1}{4}\sin(2x) + C.

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