Em cada caso escreva uma primitiva(uma funçāo cuja derivada é a função dada) da função:
f(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Esse problema faz parte de integrais de funções trigonométricas; em particular, vamos usar que a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x) e que a integral de 1/u é \ln|u|.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x),
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du = \cos(x)\,dx.
Assim, o integrando \dfrac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\,dx
torna-se
\frac{1}{u}\,du.

Passo 3

A integral de \frac{1}{u} é
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x, obtemos
\int \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr| + C.

Resposta

Uma primitiva de f(x)=\dfrac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} é
F(x)=\ln\bigl|\operatorname{sen}(x)\bigr| + C.

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