Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que:
cujo núcleo é gerado por
e
;
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de transformação linear
cujo núcleo é
.
Para resolver precisamos usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construir um funcional linear em com esse núcleo, estendendo-o a
.
Para resolver precisamos usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construir um funcional linear em
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão,
Assim
tem posto 1 e a imagem é uma reta em
. Logo podemos escrever
onde
é um vetor fixo não nulo e
é um funcional linear cujo núcleo seja exatamente a subespaço dado.
Passo 3
Procuramos
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem
, ou seja
. Escolhendo
temos
com
.
Agora basta escolher um vetor não nulo em
, por exemplo
, e definir
Resposta
Um exemplo de transformação linear com o núcleo desejado é