Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cujo núcleo é gerado por (1,2,-1) e (1,-1,0);

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
cujo núcleo é \ker T=\mathrm{span}\{(1,2,-1),\,(1,-1,0)\}.
Para resolver precisamos usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construir um funcional linear em \mathbb{R}^3 com esse núcleo, estendendo-o a \mathbb{R}^2.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão,
\dim\ker T = 2 \quad\Longrightarrow\quad \dim\mathrm{Im}\,T = 3 - 2 = 1.
Assim T tem posto 1 e a imagem é uma reta em \mathbb{R}^2. Logo podemos escrever
T(x)=v\cdot f(x),
onde v\in\mathbb{R}^2 é um vetor fixo não nulo e
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}
é um funcional linear cujo núcleo seja exatamente a subespaço dado.

Passo 3

Procuramos f(a,b,c)=\alpha a+\beta b+\gamma c\) tal que \[f(1,2,-1)=0, \quad f(1,-1,0)=0.
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta - \gamma = 0,\\\ \alpha - \beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \beta=\alpha\]. Substituindo na primeira obtém-se \(\alpha+2\alpha-\gamma=0, ou seja \gamma=3\alpha. Escolhendo \alpha=1 temos
f(a,b,c)=a+b+3c,
com \ker f=\mathrm{span}\{(1,2,-1),(1,-1,0)\}.
Agora basta escolher um vetor não nulo em \mathbb{R}^2, por exemplo v=(1,0), e definir
T(a,b,c)=\bigl(f(a,b,c),\,0\bigr)=\bigl(a+b+3c,\,0\bigr).

Resposta

Um exemplo de transformação linear com o núcleo desejado é
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, \quad T(a,b,c)=(\,a+b+3c,\;0\,).

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