Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com \operatorname{Nuc}(T)=\{(x, y) ; x=y\};

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T \colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
tal que
\mathrm{Nuc}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x=y\}.
O que precisamos usar é a definição de núcleo (ou kernel) de uma transformação linear e como escolher uma matriz cujo sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} tenha solução exatamente x=y.

Passo 2

Lembrando que, se T está representada por uma matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}), então
\mathrm{Nuc}(T)=\{(x,y):A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\}.
Queremos que essa condição seja equivalente a x-y=0, ou seja, x=y.

Passo 3

Para forçar x=y como única condição do núcleo, basta escolher uma forma linear (funcional) f(x,y) que satisfaça
f(x,y)=0\iff x-y=0.
Um exemplo simples é
f(x,y)=x-y.

Passo 4

A partir de f(x,y)=x-y, podemos definir várias transformações em \mathbb{R}^2 que “detectam” essa condição. Por exemplo:
  1. Defina
T_{1}(x,y)=\bigl(f(x,y),\,0\bigr)=(x-y,\,0).
Em matriz,
A_{1}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
O sistema homogêneo A_{1}(x,y)^{T}=0 x-y=0 e nada mais, logo \mathrm{Nuc}(T_{1})=\{x=y\}.

Passo 5

Outro exemplo, também de posto 1, é repetir f(x,y) nas duas componentes de saída:
T_{2}(x,y)=\bigl(f(x,y),\,f(x,y)\bigr)=(x-y,\,x-y).
Em matriz,
A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Aqui o sistema homogêneo impõe novamente x-y=0 e nada além, garantindo \mathrm{Nuc}(T_{2})=\{x=y\}.

Resposta

Como exemplos de transformações lineares com \mathrm{Nuc}(T)=\{(x,y):x=y\}, podemos usar:
(a) T_{1}(x,y)=(\,x-y,\;0\,).
(b) T_{2}(x,y)=(\,x-y,\;x-y\,).

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