Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com \operatorname{Nuc}(T)=\{(x, y) ; x=y\};
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T \colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}
tal que
\mathrm{Nuc}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x=y\}.
O que precisamos usar é a definição de núcleo (ou kernel) de uma transformação linear e como escolher uma matriz cujo sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} tenha solução exatamente x=y.
Passo 2
Lembrando que, se T está representada por uma matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}), então
Aqui o sistema homogêneo impõe novamente x-y=0 e nada além, garantindo \mathrm{Nuc}(T_{2})=\{x=y\}.
Resposta
Como exemplos de transformações lineares com \mathrm{Nuc}(T)=\{(x,y):x=y\}, podemos usar:
(a) T_{1}(x,y)=(\,x-y,\;0\,).
(b) T_{2}(x,y)=(\,x-y,\;x-y\,).