Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com \operatorname{Nuc}(T)=(0,0,0);

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{2}
tal que
\operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0,0)\}.
O conteúdo aqui é a relação entre posto e nulidade de uma aplicação linear (Teorema do Posto-Nulidade).

Passo 2

Recordamos o Teorema do Posto-Nulidade: para uma transformação linear
T\colon V\to W
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim V.

Passo 3

No nosso caso, V=\mathbb{R}^3 e W=\mathbb{R}^2. Logo
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=3.

Passo 4

Como \operatorname{Im}T\subseteq\mathbb{R}^2, temos \dim(\operatorname{Im}T)\le2. Portanto
\dim(\ker T)=3-\dim(\operatorname{Im}T)\ge3-2=1.
Isto mostra que \dim(\ker T)\ge1, ou seja, \ker T nunca pode ser trivial.

Resposta

Não existe transformação linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0,0)\}.

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