Verifique qual das seguintes transformações são lineares. Justifique.
T(x, y, z)=(\operatorname{sen} x, x+y-2 z)

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z) = (\sin x,\;x + y - 2z).
Para T ser linear, devem valer para todos u,v\in\mathbb{R}^3 e todo \alpha\in\mathbb{R}:
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Passo 2

Teste da aditividade. Tomemos u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
T(u+v) = \bigl(\sin(x_1+x_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-2(z_1+z_2)\bigr),
enquanto
T(u)+T(v) = (\sin x_1,\;x_1+y_1-2z_1) + (\sin x_2,\;x_2+y_2-2z_2) = \bigl(\sin x_1+\sin x_2,\;x_1+x_2+y_1+y_2-2z_1-2z_2\bigr).
Como em geral
\sin(x_1+x_2)\neq \sin x_1 + \sin x_2,
vemos que T(u+v)\neq T(u)+T(v). Logo, T falha na aditividade.

Passo 3

Teste da homogeneidade. Para um escalar \alpha e vetor (x,y,z),
T(\alpha x,\alpha y,\alpha z) = \bigl(\sin(\alpha x),\;\alpha x+\alpha y-2\alpha z\bigr),
enquanto
\alpha\,T(x,y,z) = \bigl(\alpha\sin x,\;\alpha x+\alpha y-2\alpha z\bigr).
Em geral \sin(\alpha x)\neq \alpha\sin x, de modo que T(\alpha u)\neq \alpha\,T(u). Portanto T também não satisfaz homogeneidade.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(\sin x,\;x+y-2z) não é linear.

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