Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{V} \rho^{2} \sin (\varphi) d V onde V é a esfera de raio 2 centrada na origem usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{V} \rho^{2}\sin(\varphi)\,dV, onde V é a esfera de raio 2 centrada na origem.
  • Informação do enunciado:
    • A região V é a esfera de centro na origem e raio 2.
    • A integranda (função a integrar) é \rho^{2}\sin(\varphi) (observe que aqui o enunciado já escreveu a integranda em símbolos que lembram coordenadas esféricas).
  • O objetivo final é obter um valor numérico para essa integral.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e revisão das fórmulas úteis (aula rápida):
  • Vou usar coordenadas esféricas porque a região V é uma esfera centrada na origem — esse sistema simplifica muito os limites e o elemento de volume.
  • Definições e convenções (padronizadas):
    • \rho é a distância do ponto à origem, com \rho\ge 0.
    • \varphi é o ângulo entre o raio vetor e o eixo z, com 0\le \varphi\le \pi.
    • \theta é o ângulo no plano xy (azimute), com 0\le \theta<2\pi.
  • Fórmulas de conversão (para lembrar): x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Elemento de volume em coordenadas esféricas (jacobiano): dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicação intuitiva: um pequeno volume esférico é aproximadamente um produto de comprimentos (d\rho) radial, (\rho\,d\varphi) na direção polar e (\rho\sin\varphi\,d\theta) na direção azimutal; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Montagem da integral em coordenadas esféricas:
  • O integrando dado é \rho^{2}\sin(\varphi) e o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Logo o integrando total (função que vou integrar) é \rho^{2}\sin\varphi \cdot dV = \rho^{2}\sin\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\sin^{2}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Limites para a esfera de raio 2:
    • \rho varia de 0 a 2.
    • \varphi varia de 0 a \pi.
    • \theta varia de 0 a 2\pi.
  • Portanto a integral fica: \iiint_{V}\rho^{2}\sin\varphi\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} \rho^{4}\sin^{2}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integração em \rho (primeira integral, passo a passo):
  • Vou integrar \displaystyle \int_{0}^{2} \rho^{4}\,d\rho.
  • Primitiva: \displaystyle \int \rho^{4}\,d\rho = \frac{\rho^{5}}{5}.
  • Avaliando de 0 a 2: \int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5}-0 = \frac{32}{5}.
  • Assim a integral tripla reduz-se a \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \left(\frac{32}{5}\right)\sin^{2}\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Integração em \varphi (usar identidade trigonométrica e mostrar contas):
  • Preciso calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi.
  • Use a identidade de redução: \sin^{2}\varphi = \frac{1-\cos(2\varphi)}{2}.
  • Então \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\varphi - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi.
  • Calcule cada parte:
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi}1\,d\varphi = \pi.
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi = \left.\frac{\sin(2\varphi)}{2}\right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)-\sin(0)}{2} = 0.
  • Portanto \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\pi - \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{\pi}{2}.
  • Substituindo no que tinha: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \left(\frac{32}{5}\right)\sin^{2}\varphi\,d\varphi\,d\theta = \left(\frac{32}{5}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)\int_{0}^{2\pi} d\theta.

Passo 6

Integração em \theta e combinação final:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Multiplicando os fatores: \left(\frac{32}{5}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)(2\pi) = \left(\frac{32}{5}\right)(\pi^{2}).Observação: \frac{\pi}{2}\cdot 2\pi = \pi^{2}.
  • Portanto o valor final da integral é \displaystyle \frac{32\pi^{2}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi^{2}}{5}

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