Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{V} \rho^{2} \sin (\varphi) d V onde V é a esfera de raio 2 centrada na origem usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede-se calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{V} \rho^{2}\sin(\varphi)\,dV, onde V é a esfera de raio 2 centrada na origem.
Informação do enunciado:
A região V é a esfera de centro na origem e raio 2.
A integranda (função a integrar) é \rho^{2}\sin(\varphi) (observe que aqui o enunciado já escreveu a integranda em símbolos que lembram coordenadas esféricas).
O objetivo final é obter um valor numérico para essa integral.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e revisão das fórmulas úteis (aula rápida):
Vou usar coordenadas esféricas porque a região V é uma esfera centrada na origem — esse sistema simplifica muito os limites e o elemento de volume.
Definições e convenções (padronizadas):
\rho é a distância do ponto à origem, com \rho\ge 0.
\varphi é o ângulo entre o raio vetor e o eixo z, com 0\le \varphi\le \pi.
\theta é o ângulo no plano xy (azimute), com 0\le \theta<2\pi.
Fórmulas de conversão (para lembrar):x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Elemento de volume em coordenadas esféricas (jacobiano):dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicação intuitiva: um pequeno volume esférico é aproximadamente um produto de comprimentos (d\rho) radial, (\rho\,d\varphi) na direção polar e (\rho\sin\varphi\,d\theta) na direção azimutal; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
Montagem da integral em coordenadas esféricas:
O integrando dado é \rho^{2}\sin(\varphi) e o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando total (função que vou integrar) é\rho^{2}\sin\varphi \cdot dV = \rho^{2}\sin\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\sin^{2}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Limites para a esfera de raio 2:
\rho varia de 0 a 2.
\varphi varia de 0 a \pi.
\theta varia de 0 a 2\pi.
Portanto a integral fica:\iiint_{V}\rho^{2}\sin\varphi\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} \rho^{4}\sin^{2}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 4
Integração em \rho (primeira integral, passo a passo):
Substituindo no que tinha:\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \left(\frac{32}{5}\right)\sin^{2}\varphi\,d\varphi\,d\theta = \left(\frac{32}{5}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)\int_{0}^{2\pi} d\theta.
Passo 6
Integração em \theta e combinação final:
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando os fatores:\left(\frac{32}{5}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)(2\pi) = \left(\frac{32}{5}\right)(\pi^{2}).Observação: \frac{\pi}{2}\cdot 2\pi = \pi^{2}.
Portanto o valor final da integral é \displaystyle \frac{32\pi^{2}}{5}.