Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{S} d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 16-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume
\iiint_{S} dV
onde a região S é dada por duas condições (essas são as informações do problema):
  • 0 \leq x \leq 16 - y^{2} - z^{2}.
  • y^{2} + z^{2} \leq 4.
As perguntas que o enunciado faz:
  • Calcular o valor numérico do volume \iiint_{S} dV da região S.

Passo 2

Entender a forma da região S (descrição geométrica).
  • A desigualdade y^{2}+z^{2}\le 4 descreve um cilindro circular reto com eixo paralelo ao eixo x, raio 2 (porque 2^{2}=4) e infinito ao longo de x, mas aqui o x está limitado pela outra desigualdade.
  • A desigualdade 0\le x\le 16-y^{2}-z^{2} diz que, para cada ponto (y,z) dentro do disco de raio 2, o x varia desde x=0 até a superfície x=16-y^{2}-z^{2}.
Portanto S é o sólido obtido tomando, para cada (y,z) dentro do disco de raio 2, o segmento em x de comprimento 16-y^{2}-z^{2}. Visualizar assim ajuda a escolher coordenadas adequadas.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa (sem pular passos).
  • Como as equações envolvem apenas y^{2}+z^{2}, faz sentido usar coordenadas polares no plano (y,z). Ou seja, definir
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta variando de 0 a 2\pi.
  • Em termos dessas variáveis, y^{2}+z^{2}=r^{2}. A condição do disco torna-se 0\le r\le 2.
  • Em mudança de variáveis do par (y,z) para (r,\theta), o elemento de área \,dy\,dz transforma-se em r\,dr\,d\theta. Isso é crucial: o fator r é o jacobiano da transformação polar e representa a expansão/dilatação dos elementos de área quando se vai para coordenadas polares. Uma maneira intuitiva de ver isso é que um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.

Passo 4

Escrever o elemento de volume e os limites corretos.
  • O volume elementar em coordenadas x,r,\theta é
dV = dx\;dy\;dz = dx\; (r\,dr\,d\theta) = r\,dx\,dr\,d\theta.
  • Os limites são:
    • \theta varia de 0 a 2\pi (cobre todo o disco em (y,z));
    • r varia de 0 a 2 (porque y^{2}+z^{2}\le 4 \iff r^{2}\le 4);
    • para cada r,\theta, x varia de 0 até 16-r^{2} (peguei a expressão 16-y^{2}-z^{2} do enunciado e substituí y^{2}+z^{2}=r^{2}).
Portanto o integral triplo fica
\iiint_{S} dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{x=0}^{16-r^{2}} r\,dx\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (integração em x).
  • A integral interna em x é simples porque integrando r em relação a x com r tratado como constante dá um fator x:
\int_{x=0}^{16-r^{2}} r\,dx = r\bigg[ x \bigg]_{0}^{16-r^{2}} = r(16-r^{2}).
Assim o integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r(16-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r com explicação passo a passo.
  • Primeiro expandir o integrando:
r(16-r^{2}) = 16r - r^{3}.
  • Integrar termo a termo em r:
\int_{0}^{2} (16r - r^{3})\,dr = \left[8r^{2} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliar em r=2:
8(2)^{2} - \frac{(2)^{4}}{4} = 8\cdot 4 - \frac{16}{4} = 32 - 4 = 28.
Logo
\int_{0}^{2} r(16-r^{2})\,dr = 28.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e concluir.
  • Agora resta integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 28 \, d\theta = 28\big[ \theta\big]_{0}^{2\pi} = 28\cdot 2\pi = 56\pi.
  • Portanto o volume do sólido S é 56\pi.
Se estiver nervoso para a prova: lembre que o passo-chave é reconhecer a simetria em y,z e usar coordenadas polares no plano (y,z); depois a integral em x normalmente é direta. Você fez direitinho em seguir cada limite — bom trabalho (mesmo que eu tenha feito a conta aqui para você)!

Resposta

56\pi

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