Em cada caso faça o que se pede.
Determine
onde
é a região delimitada por
e
.
Determine
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A região
é descrita por: -
, -
.
-
- O enunciado pede calcular o integral triple
Informações úteis extraídas do enunciado:
- No plano
a região é um disco de raio . - Para cada ponto
nesse disco, varia de até .
Passo 2
Observação de simetria (atalho inteligente que geralmente salva tempo na prova).
- A função integrando é
. Note que é par em (ou seja, não muda se trocarmos por ), enquanto é ímpar em (muda de sinal). - A região no plano
, o disco , é simétrica em relação à troca . - O limite em
, , depende apenas de e, portanto, também é invariante pela simetria .
Conclusão por simetria: para cada ponto
em
existe o ponto
em
com integrando
. Esses contribuem com somas opostas. Logo o integral triplo é zero.
Vou, no entanto, detalhar o cálculo usando coordenadas polares no plano
para mostrar o procedimento padrão (útil na prova caso não se veja a simetria imediatamente).
Passo 3
Mudança de variáveis: polar no plano
.
- Defino as coordenadas polares no plano
por com e . - O elemento de volume em coordenadas
é (Explicação rápida: para fixar temos um elemento de área no plano e multiplicamos por .)
Os limites ficam:
-
vai de a (porque vira ); -
vai de a ; -
vai de a (pois ).
Passo 4
Escrever o integrando em
.
- Temos
- Então o integral se transforma em
- Juntando os fatores de
,
Passo 5
Integrar em
(é a integral mais simples porque o integrando não depende de
).
- A integral em
apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em , que é . Assim
Passo 6
Separar as integrais e observar que o fator angular é nulo.
- A expressão pode ser escrita como produto (produto de uma função só de
por uma só de ): - Calculo o integral em
. Faço a substituição , então . Assim (O fato de os limites para serem iguais mostra diretamente que a integral é zero; também é consistente com a ideia de que é uma função com áreas positivas e negativas que se cancelam ao percorrer a .)
Passo 7
Concluir com base no cálculo ou na simetria.
- Como o fator angular é
, o produto total é , independentemente do valor do integral radial. - Isso confirma a conclusão por simetria do Passo 2.