Em cada caso faça o que se pede.
Determine \iiint_{S} y^{2} z d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 4-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A região S é descrita por:
    • 0 \leq x \leq 4 - y^{2} - z^{2},
    • y^{2} + z^{2} \leq 2.
  • O enunciado pede calcular o integral triple \iiint_{S} y^{2} z \, dV.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • No plano (y,z) a região é um disco de raio \sqrt{2}.
  • Para cada ponto (y,z) nesse disco, x varia de 0 até 4 - (y^{2}+z^{2}).

Passo 2

Observação de simetria (atalho inteligente que geralmente salva tempo na prova).
  • A função integrando é y^{2} z. Note que y^{2} é par em z (ou seja, não muda se trocarmos z por -z), enquanto z é ímpar em z (muda de sinal).
  • A região no plano (y,z), o disco y^{2}+z^{2}\le 2, é simétrica em relação à troca z\mapsto -z.
  • O limite em x, 0\le x\le 4-(y^{2}+z^{2}), depende apenas de y^{2}+z^{2} e, portanto, também é invariante pela simetria z\mapsto -z.
Conclusão por simetria: para cada ponto (x,y,z) em S existe o ponto (x,y,-z) em S com integrando y^{2}(-z)=-y^{2}z. Esses contribuem com somas opostas. Logo o integral triplo é zero.
Vou, no entanto, detalhar o cálculo usando coordenadas polares no plano (y,z) para mostrar o procedimento padrão (útil na prova caso não se veja a simetria imediatamente).

Passo 3

Mudança de variáveis: polar no plano (y,z).
  • Defino as coordenadas polares no plano (y,z) por y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,com r\ge 0 e 0\le \theta < 2\pi.
  • O elemento de volume em coordenadas x,r,\theta é dV = dx\; r\,dr\,d\theta.(Explicação rápida: para fixar (r,\theta) temos um elemento de área r\,dr\,d\theta no plano (y,z) e multiplicamos por dx.)
Os limites ficam:
  • r vai de 0 a \sqrt{2} (porque y^{2}+z^{2}\le 2 vira r^{2}\le 2);
  • \theta vai de 0 a 2\pi;
  • x vai de 0 a 4-r^{2} (pois y^{2}+z^{2}=r^{2}).

Passo 4

Escrever o integrando em r,\theta.
  • Temos y^{2} z = (r\cos\theta)^{2}\cdot (r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
  • Então o integral se transforma em \iiint_{S} y^{2} z\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{x=0}^{4-r^{2}} r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta \; dx\; r\,dr\,d\theta.
  • Juntando os fatores de r, \iiint_{S} y^{2} z\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{4-r^{2}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \; dx\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em x (é a integral mais simples porque o integrando não depende de x).
  • A integral em x apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em x, que é 4-r^{2}. Assim \iiint_{S} y^{2} z\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \,(4-r^{2}) \; dr\,d\theta.

Passo 6

Separar as integrais e observar que o fator angular é nulo.
  • A expressão pode ser escrita como produto (produto de uma função só de \theta por uma só de r): \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \, d\theta \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{4}(4-r^{2})\, dr.
  • Calculo o integral em \theta. Faço a substituição u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Assim \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \, d\theta = -\int_{u=\cos 0}^{u=\cos 2\pi} u^{2}\, du = -\int_{1}^{1} u^{2}\, du = 0.(O fato de os limites para u serem iguais mostra diretamente que a integral é zero; também é consistente com a ideia de que \cos^{2}\theta\sin\theta é uma função com áreas positivas e negativas que se cancelam ao percorrer 0 a 2\pi.)

Passo 7

Concluir com base no cálculo ou na simetria.
  • Como o fator angular é 0, o produto total é 0, independentemente do valor do integral radial.
  • Isso confirma a conclusão por simetria do Passo 2.

Resposta

0

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