Em cada caso faça o que se pede.
Encontre \iiint_{S} y z d V onde S é a região delimitada por 0 \leq x \leq 9-y^{2}-z^{2} e y^{2}+z^{2} \leq 3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular a integral tripla \iiint_{S} y z \, dV.
  • A região S é dada por duas condições:
    • 0 \leq x \leq 9 - y^{2} - z^{2}.
    • y^{2}+z^{2} \leq 3.
  • Assim, para cada ponto (y,z) no disco do plano yz de raio \sqrt{3}, a coordenada x varia de 0 até 9 - (y^{2}+z^{2}).
Resumo útil (pegar estas informações do enunciado):
  • Projeção de S no plano yz é o disco \{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 3\}.
  • Para cada (y,z) desse disco, x\in[0,\,9-y^{2}-z^{2}].
  • O integrando é y z.

Passo 2

Observação estratégica: qual método usar?
  • Há duas maneiras naturais aqui:
    1. Usar simetria do integrando e da região para concluir rapidamente que a integral é zero.
    2. Fazer a troca para coordenadas polares no plano yz (isto é, usar r,\theta para y,z) e calcular explicitamente.
Vou explicar e aplicar primeiro o argumento por simetria (mais simples), depois fazer a mudança para coordenadas polares para mostrar o cálculo direto e ensinar como proceder em provas quando não for óbvio por simetria.

Passo 3

Argumento por simetria (cuidado: passo didático e rápido).
  • Note que a região projetada no plano yz, o disco \{y^{2}+z^{2}\le 3\}, é simétrica em relação ao eixo y=0 (ou seja, se (y,z) pertence, então (-y,z) também pertence) e também em relação a z=0.
  • O integrando é a função f(x,y,z)=y z. Se for feita a reflexão y\mapsto -y (mantendo x,z fixos), o integrando muda de sinal: y z \mapsto (-y)z = - (y z).
  • Como a projeção no plano yz é simétrica por y\mapsto -y e os limites em x dependem só de y^{2}+z^{2} (ou seja, são os mesmos para (y,z) e (-y,z)), os contributions de pontos (y,z) e (-y,z) para a integral se cancelam.
  • Portanto, pela simetria, a integral tripla deve ser igual a 0.
Isso já responde o problema, mas abaixo faço o cálculo em coordenadas polares para mostrar o procedimento mecânico e ensinar a técnica.

Passo 4

Mudança para coordenadas polares no plano yz — explicação da técnica.
  • Vamos parametrizar o plano (y,z) com coordenadas polares padrão: y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,onde r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • Aqui r=\sqrt{y^{2}+z^{2}} e \theta é o ângulo no plano yz.
  • O elemento de área no plano yz transforma como dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do jacobiano da transformação polar: a pequena área dA vale aproximadamente r\,dr\,d\theta.
  • O elemento de volume é dV = dx\,dA = dx\; r\,dr\,d\theta.
  • O integrando y z em termos de r,\theta vira y z = (r\cos\theta)(r\sin\theta)= r^{2}\cos\theta\sin\theta.

Passo 5

Montando a integral em coordenadas polares e calculando.
  • Os limites em r e \theta são: r\in[0,\sqrt{3}] (porque y^{2}+z^{2}\le 3) e \theta\in[0,2\pi].
  • Para cada r,\theta, x varia de 0 até 9-r^{2} (peguei isso de 0\le x\le 9-y^{2}-z^{2}=9-r^{2}).
  • A integral fica, então: \iiint_{S} y z \, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{3}}\int_{x=0}^{9-r^{2}} \bigl(r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr)\; dx\; r\,dr\,d\theta.
  • Reorganizando fatores (o fator r do jacobiano multiplica r^{2} do integrando): \iiint_{S} y z \, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{9-r^{2}} r^{3}\cos\theta\sin\theta \; dx\;dr\;d\theta.
  • Integramos em x primeiro (é só multiplicar por o comprimento do intervalo em x, que é 9-r^{2}): \int_{0}^{9-r^{2}} r^{3}\cos\theta\sin\theta \; dx = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,(9-r^{2}).Então \iiint_{S} y z \, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}} r^{3}(9-r^{2})\cos\theta\sin\theta \; dr\;d\theta.
  • Agora observe a integração em \theta. Use a identidade trigonométrica \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).Assim o fator angular é proporcional a \sin(2\theta), cuja integral em [0,2\pi] é zero: \int_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin\theta \; d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\; d\theta = 0.
  • Como o fator radial r^{3}(9-r^{2}) não depende de \theta, o produto integra para zero: \iiint_{S} y z \, dV = \int_{0}^{\sqrt{3}} r^{3}(9-r^{2})\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right) dr = \int_{0}^{\sqrt{3}} r^{3}(9-r^{2})\cdot 0 \; dr = 0.

Passo 6

Comentário final e incentivo.
  • Portanto, tanto pelo argumento de simetria quanto pelo cálculo em coordenadas polares o resultado é o mesmo: a integral vale 0.
  • Bom trabalho! Quando vir um integrando que muda de sinal sob reflexão e a região for simétrica, a simetria costuma ser o caminho mais rápido na prova — mas saber montar e calcular em coordenadas polares dá segurança caso a simetria não seja tão evidente.

Resposta

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