Em cada caso faça o que se pede:
estude a posição relativa dos planos \alpha: X=(1,2,-3)+m(-1,2,-1)+n(3,-4,0) e \beta:-2 x+5 y-z=-7.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb R^3: \alpha em forma paramétrica
X = (1,2,-3) + m\,(-1,2,-1) + n\,(3,-4,0)
e \beta em forma geral
-2x + 5y - z = -7.
Queremos saber se eles são paralelos (ou coincidentes) ou se se cruzam numa reta. Para isso, vamos comparar os vetores normais de cada plano.

Passo 2

No plano \alpha, os vetores diretores são \vec u = (-1,2,-1) e \vec v = (3,-4,0).
O vetor normal de \alpha é dado pelo produto vetorial
\vec n_\alpha = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(2\cdot0 - (-1)\cdot(-4),\; -\bigl(-1\cdot0 -(-1)\cdot3\bigr),\; -1\cdot(-4) - 2\cdot3\bigr).
Calculando componente a componente,
\vec n_\alpha = (-4,\,-3,\,-2).

Passo 3

No plano \beta, a equação
-2x + 5y - z = -7
tem vetor normal diretamente dado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja
\vec n_\beta = (-2,\,5,\,-1).

Passo 4

Para que dois planos sejam paralelos ou coincidentes, seus vetores normais devem ser propor­ci­o­nais, isto é, deve existir \lambda tal que
\vec n_\beta = \lambda\,\vec n_\alpha.
Aqui, se fosse possível, teríamos
(-2,5,-1)=\lambda\,(-4,-3,-2).
Da primeira componente -2=\lambda\cdot(-4) vem \lambda=\tfrac12,
mas da segunda 5=\lambda\cdot(-3) viria \lambda=-\tfrac{5}{3}.
Como não há \lambda que satisfaça simultaneamente, os planos não são paralelos.

Resposta

Os planos \alpha e \beta não são paralelos e, portanto, se interceptam segundo uma reta.

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