Seja \pi o plano definido pelos pontos A=(2,0,-1), B=(0,-1,2) e C=(4,2,-3). Determine:
a equação da reta que passa pelo ponto Q=(-2 ; 3 ;-1) e é paralela ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi determinado pelos pontos \displaystyle A=(2,0,-1), \displaystyle B=(0,-1,2) e \displaystyle C=(4,2,-3),
e pede a reta que passa por \displaystyle Q=(-2,3,-1)
e é paralela a \pi.
Para uma reta ser paralela a um plano, seu vetor-direção deve ser ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Vamos obter dois vetores do plano: \displaystyle \vec{AB} = B - A = (0-2,\,-1-0,\;2-(-1)) = (-2,-1,3), \displaystyle \vec{AC} = C - A = (4-2,\;2-0,\;-3-(-1)) = (2,2,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & -1 & 3\\\\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-4,\,2,\,-2).
Podemos simplificar para \displaystyle \mathbf{n}=(-2,1,-1).

Passo 4

Escolhemos como vetor-direção \mathbf{v} da reta um vetor que pertença ao plano, por exemplo \vec{AB}=(-2,-1,3). De fato, \displaystyle \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} =(-2,-1,3)\cdot(-2,1,-1) =4-1-3=0,
confirmando que \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n} e, portanto, paralelo ao plano.

Passo 5

A reta buscada passa por Q=(-2,3,-1) e tem vetor-direção \mathbf{v}=(-2,-1,3).
A forma paramétrica é
\ell:\begin{cases} x=-2 - 2t,\\\ y=3 - t,\\\ z=-1 + 3t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\ell:\begin{cases} x=-2 - 2t,\\\ y=3 - t,\\\ z=-1 + 3t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.

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