Em cada caso faça o que se pede:
determine a posição relativa das retas r: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{-2 z+6}{8} e s: X=(-1,0,4)+\lambda(1,2,-3);

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas retas no espaço e decidir se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Isso envolve: (i) obter a forma paramétrica de cada reta, (ii) extrair seus vetores diretores, (iii) testar paralelismo via produto vetorial e, se não paralelas, (iv) testar interseção resolvendo o sistema das três componentes.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica. Para
r:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{-2z+6}{8}=t
temos
\mathbf{r}(t)=(2+3t,\,-1-2t,\;3-4t).
Para
s:\;X=(-1,0,4)+\lambda(1,2,-3)
temos
\mathbf{s}(\lambda)=(-1+\lambda,\;2\lambda,\;4-3\lambda).

Passo 3

Os vetores diretores são
v_r=(3,-2,-4), \qquad v_s=(1,2,-3).
Calculamos o produto vetorial para ver se são paralelos:
v_r\times v_s =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & -2 & -4\\\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} =(14,5,8).
Como (14,5,8)\neq(0,0,0), concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 4

Como não são paralelas, verificamos se se cruzam. Igualamos coordenadas:
da componente x vem
2+3t = -1+\lambda,
da componente y vem
-1-2t = 2\lambda,
e da componente z vem
3-4t = 4-3\lambda.
Das duas primeiras equações obtemos
t=-\tfrac{7}{8}, \qquad \lambda=\tfrac{3}{8}.
Substituindo na terceira:
3-4\Bigl(-\tfrac{7}{8}\Bigr)=\tfrac{13}{2}, \qquad 4-3\cdot\tfrac{3}{8}=\tfrac{23}{8},
e \tfrac{13}{2}\neq\tfrac{23}{8}. Não há solução comum para t e \lambda, logo não se intersectam.

Resposta

As retas r e s são reversas.

Exercícios relacionados