En cada caso, hallar la matriz \mathbf{X} tal que sea solución de la ecuación matricial: (Resolver al menos DOS de los tres ítems que se presentan a continuación)
\mathbf{X A}+2 \mathbf{A}=3 \mathbf{X}+\mathbf{B}, siendo \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] y \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}-2 & 1 \\\\ 5 & 4\end{array}\right]

Passo 1

Vou deixar bem explícito o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos a equação matricial \mathbf{X A}+2 \mathbf{A}=3 \mathbf{X}+\mathbf{B}.
  • As matrizes fornecidas são
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix}.
  • O que nos pedem: encontrar a matriz \mathbf{X} que satisfaz a equação dada.
Não começo a resolver ainda: só listei o que temos e o que é pedido.]

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando os termos com \mathbf{X} de um lado e os demais do outro, passo-a-passo:
A equação é
\mathbf{X}\mathbf{A}+2\mathbf{A}=3\mathbf{X}+\mathbf{B}.
Subtraindo 3\mathbf{X} de ambos os lados e subtraindo 2\mathbf{A} de ambos os lados obtemos
\mathbf{X}\mathbf{A}-3\mathbf{X}=\mathbf{B}-2\mathbf{A}.
Agora fatoramos \mathbf{X} à esquerda. Para isso usamos que \mathbf{X}\mathbf{A}-3\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{A}-3\mathbf{I}), onde \mathbf{I} é a matriz identidade 2\times2:
\mathbf{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto a equação fica
\mathbf{X}(\mathbf{A}-3\mathbf{I})=\mathbf{B}-2\mathbf{A}.]

Passo 3

Agora calculamos as duas matrizes que apareceram: \mathbf{A}-3\mathbf{I} e \mathbf{B}-2\mathbf{A}.
Primeiro \mathbf{A}-3\mathbf{I}. Subtrair 3\mathbf{I} significa subtrair 3 na diagonal de \mathbf{A}:
\mathbf{A}-3\mathbf{I} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1-3 & 2 \\[4pt] 3 & 4-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \mathbf{B}-2\mathbf{A}.
Primeiro 2\mathbf{A} é multiplicar cada entrada de \mathbf{A} por 2:
2\mathbf{A}= \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}.
Então
\mathbf{B}-2\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2-(-2) & 1-4 \\[4pt] 5-6 & 4-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] -1 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Voltamos à equação fatorada
\mathbf{X}(\mathbf{A}-3\mathbf{I})=\mathbf{B}-2\mathbf{A}.
Queremos isolar \mathbf{X}. Como \mathbf{X} está multiplicando pela direita a matriz \mathbf{A}-3\mathbf{I}, devemos multiplicar à direita pelo inverso de \mathbf{A}-3\mathbf{I} (se esse inverso existir). Assim:
\mathbf{X}=(\mathbf{B}-2\mathbf{A})\bigl(\mathbf{A}-3\mathbf{I}\bigr)^{-1}.
Agora vamos calcular \bigl(\mathbf{A}-3\mathbf{I}\bigr)^{-1}. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o inverso (quando existe) é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde \det(M)=ad-bc. Essa é a fórmula padrão para inversa de 2\times2.]

Passo 6

Aplicamos a fórmula ao nosso caso M=\mathbf{A}-3\mathbf{I}=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(\mathbf{A}-3\mathbf{I}) = (-4)\cdot 1 - 2\cdot 3 = -4 - 6 = -10.
Como \det\neq 0, a matriz é invertível.
Usando a fórmula da inversa:
(\mathbf{A}-3\mathbf{I})^{-1} =\frac{1}{-10} \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] -3 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{3}{10} & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculemos o produto
\mathbf{X}=(\mathbf{B}-2\mathbf{A})\bigl(\mathbf{A}-3\mathbf{I}\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] -1 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{3}{10} & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.
Fazemos a multiplicação linha por coluna (explico: para o elemento na linha i e coluna j do produto, multiplica-se linha i da primeira pela coluna j da segunda e soma-se os produtos).
Calculemos cada entrada:
  • Entrada (1,1):
0\cdot\left(-\tfrac{1}{10}\right) + (-3)\cdot\left(\tfrac{3}{10}\right) = -\tfrac{9}{10}.
  • Entrada (1,2):
0\cdot\left(\tfrac{1}{5}\right) + (-3)\cdot\left(\tfrac{2}{5}\right) = -\tfrac{6}{5}.
  • Entrada (2,1):
(-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{10}\right) + (-4)\cdot\left(\tfrac{3}{10}\right) = \tfrac{1}{10} - \tfrac{12}{10} = -\tfrac{11}{10}.
  • Entrada (2,2):
(-1)\cdot\left(\tfrac{1}{5}\right) + (-4)\cdot\left(\tfrac{2}{5}\right) = -\tfrac{1}{5} - \tfrac{8}{5} = -\tfrac{9}{5}.
Portanto
\mathbf{X}= \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{10} & -\tfrac{6}{5} \\[6pt] -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{9}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 8

(Faço uma verificação rápida e didática — muito útil na prova — para confirmar que a \mathbf{X} encontrada satisfaz a equação original.)
Calculo \mathbf{X}\mathbf{A}. Com \mathbf{X}=\begin{pmatrix}-\tfrac{9}{10} & -\tfrac{6}{5} \\[4pt] -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{9}{5}\end{pmatrix} e \mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}:
  • (\mathbf{X}\mathbf{A})_{11} = -\tfrac{9}{10}\cdot(-1) + \left(-\tfrac{6}{5}\right)\cdot 3 = \tfrac{9}{10} - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{27}{10}.
  • (\mathbf{X}\mathbf{A})_{12} = -\tfrac{9}{10}\cdot 2 + \left(-\tfrac{6}{5}\right)\cdot 4 = -\tfrac{18}{10} - \tfrac{24}{5} = -\tfrac{33}{5}.
  • (\mathbf{X}\mathbf{A})_{21} = -\tfrac{11}{10}\cdot(-1) + \left(-\tfrac{9}{5}\right)\cdot 3 = \tfrac{11}{10} - \tfrac{27}{5} = -\tfrac{43}{10}.
  • (\mathbf{X}\mathbf{A})_{22} = -\tfrac{11}{10}\cdot 2 + \left(-\tfrac{9}{5}\right)\cdot 4 = -\tfrac{22}{10} - \tfrac{36}{5} = -\tfrac{47}{5}.
Logo
\mathbf{X}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-\tfrac{27}{10} & -\tfrac{33}{5} \\[4pt] -\tfrac{43}{10} & -\tfrac{47}{5}\end{pmatrix}.
Agora \mathbf{X}\mathbf{A}+2\mathbf{A}. Já calculámos 2\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}. Somando (convertendo para frações com denominador 10 quando necessário) obtemos
\mathbf{X}\mathbf{A}+2\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-\tfrac{47}{10} & -\tfrac{13}{5} \\[4pt] \tfrac{17}{10} & -\tfrac{7}{5}\end{pmatrix}.
Do outro lado, 3\mathbf{X}+\mathbf{B}:
3\mathbf{X}=\begin{pmatrix}-\tfrac{27}{10} & -\tfrac{18}{5} \\[4pt] -\tfrac{33}{10} & -\tfrac{27}{5}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix}.
Somando:
3\mathbf{X}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix}-\tfrac{47}{10} & -\tfrac{13}{5} \\[4pt] \tfrac{17}{10} & -\tfrac{7}{5}\end{pmatrix}.
As duas expressões coincidem, então a \mathbf{X} encontrada está correta.]

Resposta

\mathbf{X}= \begin{pmatrix} -\tfrac{9}{10} & -\tfrac{6}{5} \\[6pt] -\tfrac{11}{10} & -\tfrac{9}{5} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados