En cada caso, hallar la matriz \mathbf{X} tal que sea solución de la ecuación matricial: (Resolver al menos DOS de los tres ítems que se presentan a continuación)
\mathbf{3 X}-\mathbf{C X}=\mathbf{B X}+\mathbf{A B}, siendo \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll}-3 & 4 \\\\ -1 & 0\end{array}\right] y \mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ 0 & 5\end{array}\right]

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • O enunciado pede: encontrar a matriz \mathbf{X} que satisfaz a equação matricial
3\mathbf{X}-\mathbf{C}\mathbf{X}=\mathbf{B}\mathbf{X}+\mathbf{A}\mathbf{B}.
  • As matrizes fornecidas são
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}-3 & 4\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
  • O que precisa ser determinado é a matriz \mathbf{X} (assumidamente 2\times2) que resolve a igualdade.]

Passo 2

Reorganizar a equação para isolar \mathbf{X}.
A equação é
3\mathbf{X}-\mathbf{C}\mathbf{X}=\mathbf{B}\mathbf{X}+\mathbf{A}\mathbf{B}.
Todas as parcelas com \mathbf{X} estão multiplicadas à esquerda (por escalares ou por matrizes). Podemos somá-las/subtraí-las como matrizes, obtendo
\bigl(3\mathbf{I}-\mathbf{C}-\mathbf{B}\bigr)\mathbf{X}=\mathbf{A}\mathbf{B},
onde \mathbf{I} é a matriz identidade 2\times2. A ideia é calcular a matriz \mathbf{M}=\;3\mathbf{I}-\mathbf{C}-\mathbf{B} e, se ela for invertível, multiplicar ambos os lados por \mathbf{M}^{-1} à esquerda para obter
\mathbf{X}=\mathbf{M}^{-1}\,\mathbf{A}\mathbf{B}.

Passo 3

Calcular 3\mathbf{I}, \mathbf{C}+\mathbf{B} e, em seguida, \mathbf{M}=3\mathbf{I}-\mathbf{C}-\mathbf{B}.
A identidade 2\times2 é \mathbf{I}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, logo
3\mathbf{I}=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
Somando \mathbf{C} e \mathbf{B}:
\mathbf{C}+\mathbf{B} =\begin{pmatrix}4&-2\\[4pt]0&5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-3&4\\[4pt]-1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4+(-3)&-2+4\\[4pt]0+(-1)&5+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]-1&5\end{pmatrix}.
Agora
\mathbf{M}=3\mathbf{I}-(\mathbf{C}+\mathbf{B}) =\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]-1&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-2\\[4pt]1&-2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificar se \mathbf{M} é invertível calculando o determinante e, se for não nulo, encontrar \mathbf{M}^{-1}.
Para uma matriz 2\times2
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix},
o determinante é \det(\mathbf{M})=ad-bc e a inversa (quando \det\neq0) é
\mathbf{M}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathbf{M})}\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}.
No nosso caso a=2, b=-2, c=1, d=-2. Então
\det(\mathbf{M})=2\cdot(-2)-(-2)\cdot1=-4+2=-2.
Como \det(\mathbf{M})=-2\neq0, \mathbf{M} é invertível. Assim
\mathbf{M}^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-2&2\\[4pt]-1&2\end{pmatrix} =-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2&2\\[4pt]-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]\tfrac{1}{2}&-1\end{pmatrix}.
(Fiz a multiplicação escalar termo a termo para obter a forma final.)]

Passo 5

Calcular \mathbf{A}\mathbf{B}.
Multiplicação de matrizes 2\times2: se \mathbf{A}=(a_{ij}) e \mathbf{B}=(b_{jk}), o elemento (i,k) de \mathbf{A}\mathbf{B} é \sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{jk}. Vamos calcular termo a termo.
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&-2\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}-3&4\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}.
Linha 1 de \mathbf{A} vezes coluna 1 de \mathbf{B}:
0\cdot(-3)+(-2)\cdot(-1)=0+2=2.
Linha 1 de \mathbf{A} vezes coluna 2 de \mathbf{B}:
0\cdot4+(-2)\cdot0=0+0=0.
Linha 2 de \mathbf{A} vezes coluna 1 de \mathbf{B}:
1\cdot(-3)+0\cdot(-1)=-3+0=-3.
Linha 2 de \mathbf{A} vezes coluna 2 de \mathbf{B}:
1\cdot4+0\cdot0=4+0=4.
Portanto
\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]-3&4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular \mathbf{X}=\mathbf{M}^{-1}\,\mathbf{A}\mathbf{B} multiplicando \mathbf{M}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]\tfrac{1}{2}&-1\end{pmatrix} por \mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]-3&4\end{pmatrix}.
Multiplicação termo a termo:
Primeira linha de \mathbf{M}^{-1} por primeira coluna de \mathbf{A}\mathbf{B}:
1\cdot2+(-1)\cdot(-3)=2+3=5.
Primeira linha de \mathbf{M}^{-1} por segunda coluna de \mathbf{A}\mathbf{B}:
1\cdot0+(-1)\cdot4=0-4=-4.
Segunda linha de \mathbf{M}^{-1} por primeira coluna de \mathbf{A}\mathbf{B}:
\tfrac{1}{2}\cdot2+(-1)\cdot(-3)=1+3=4.
Segunda linha de \mathbf{M}^{-1} por segunda coluna de \mathbf{A}\mathbf{B}:
\tfrac{1}{2}\cdot0+(-1)\cdot4=0-4=-4.
Então
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}5&-4\\[4pt]4&-4\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}5 & -4\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados