Em cada caso, identifique a cônica \mathcal{C}, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de \mathcal{C} e faça um esboço da curva no plano. \mathcal{C}: 3 \rho \cos \theta=2-2 \rho.
Passo 1
O enunciado fornece a curva em coordenadas polares
3\rho\cos\theta=2-2\rho.
O que se pede (lista clara de perguntas):
Identificar que cônica é \mathcal{C}.
Determinar o comprimento do latus rectum.
Determinar os eixos (semieixos e comprimentos dos eixos principais).
Localizar os focos e os vértices.
Determinar a(s) diretriz(es).
Encontrar a equação cartesiana de \mathcal{C}.
Fazer um esboço (descrição orientada do desenho).
Informações relevantes dadas no enunciado:
A curva está dada em polares pela equação explícita acima, com variável radial \rho e ângulo \theta.
Não há outras informações numéricas além dessa equação.
Passo 2
Passo inicial: colocar a equação na forma polar padrão de uma cônica.
Começo isolando \rho. A equação é
3\rho\cos\theta+2\rho=2.
Fatorando \rho,
\rho\,(2+3\cos\theta)=2.
Logo
\rho=\frac{2}{2+3\cos\theta}.
Dividindo numerador e denominador por 2 fica mais conveniente:
\rho=\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\theta}.
Agora lembro (aula curta sobre a forma polar de cônicas):
A forma padrão de uma cônica com foco na origem e eixo polar no eixo x é
\rho=\frac{\ell}{1+e\cos\theta},
onde:
e é a excentricidade da cônica (número não negativo).
\ell é o semi-latus rectum (parâmetro relacionado ao comprimento do latus rectum).
Interpretação: se e<1 é uma elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbole.
Comparando com \rho=\dfrac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\theta} obtemos
\ell=1,\qquad e=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
Como e=\tfrac{3}{2}>1, a cônica \mathcal{C} é uma hipérbole com foco na origem (porque usamos a forma com foco na origem).
Passo 3
Comprimento do latus rectum (explicando o que é e como achar):
O latus rectum é o segmento da curva que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo principal da cônica. Na forma polar com foco na origem e eixo x, os pontos do latus rectum correspondem a \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} (porque esses ângulos dão a direção perpendicular ao eixo x).
Observação de consistência: um dos focos fica em x=h-c=\tfrac{6}{5}-\tfrac{6}{5}=0, ou seja a origem — isto confirma que a forma polar tinha foco na origem e a transformação está coerente.
Passo 5
Encontrar vértices, focos e diretriz(es) de maneira explícita.
Note: a diretriz associada ao foco na origem é x=\tfrac{2}{3}. Isso também se obtém diretamente da forma polar: como \rho=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta} e aqui ed=\ell=1 com e=\tfrac{3}{2}, obtemos d=\tfrac{1}{e}=\tfrac{2}{3}.
o que em termos polares corresponde ao ponto r=2,\\ \theta=0, isto é V_2=(2,0) — consistente.
Esboço (descrição para desenhar no plano):
Centro em \bigl(\tfrac{6}{5},0\bigr)=(1{,}2,0).
Vértices em (0{,}4,0) (ramo esquerdo) e (2,0) (ramo direito).
Focos em (0,0) (origem) e (2{,}4,0).
Asíntotas com declives \pm\tfrac{\sqrt{5}}{2} e passando por (1{,}2,0).
O ramo esquerdo aproxima-se da assíntota de declive negativa/positiva à esquerda; o ramo direito aproxima-se das assíntotas à direita. O latus rectum perto do foco em origem é o segmento vertical entre (0,1) e (0,-1).