Em cada caso, identifique a cônica \mathcal{C}, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de \mathcal{C} e faça um esboço da curva no plano.
\mathcal{C}: 3 \rho \cos \theta=2-2 \rho.

Passo 1

O enunciado fornece a curva em coordenadas polares
3\rho\cos\theta=2-2\rho.
O que se pede (lista clara de perguntas):
  • Identificar que cônica é \mathcal{C}.
  • Determinar o comprimento do latus rectum.
  • Determinar os eixos (semieixos e comprimentos dos eixos principais).
  • Localizar os focos e os vértices.
  • Determinar a(s) diretriz(es).
  • Encontrar a equação cartesiana de \mathcal{C}.
  • Fazer um esboço (descrição orientada do desenho).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A curva está dada em polares pela equação explícita acima, com variável radial \rho e ângulo \theta.
  • Não há outras informações numéricas além dessa equação.

Passo 2

Passo inicial: colocar a equação na forma polar padrão de uma cônica.
Começo isolando \rho. A equação é
3\rho\cos\theta+2\rho=2.
Fatorando \rho,
\rho\,(2+3\cos\theta)=2.
Logo
\rho=\frac{2}{2+3\cos\theta}.
Dividindo numerador e denominador por 2 fica mais conveniente:
\rho=\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\theta}.
Agora lembro (aula curta sobre a forma polar de cônicas):
  • A forma padrão de uma cônica com foco na origem e eixo polar no eixo x é
\rho=\frac{\ell}{1+e\cos\theta},
onde:
  • e é a excentricidade da cônica (número não negativo).
  • \ell é o semi-latus rectum (parâmetro relacionado ao comprimento do latus rectum).
  • Interpretação: se e<1 é uma elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbole.
Comparando com \rho=\dfrac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\theta} obtemos
\ell=1,\qquad e=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
Como e=\tfrac{3}{2}>1, a cônica \mathcal{C} é uma hipérbole com foco na origem (porque usamos a forma com foco na origem).

Passo 3

Comprimento do latus rectum (explicando o que é e como achar):
  • O latus rectum é o segmento da curva que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo principal da cônica. Na forma polar com foco na origem e eixo x, os pontos do latus rectum correspondem a \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} (porque esses ângulos dão a direção perpendicular ao eixo x).
  • Calculo \rho em \theta=\tfrac{\pi}{2}:
\rho\Big|_{\theta=\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\!\tfrac{\pi}{2}}=\frac{1}{1+0}=1.
O mesmo para \theta=-\tfrac{\pi}{2} \rho=1.
Coordenadas cartesianas desses dois pontos (usar x=\rho\cos\theta,\\ y=\rho\sin\theta):
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(0,1).
  • Para \theta=-\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(0,-1).
Portanto o latus rectum é o segmento entre (0,1) e (0,-1), cujo comprimento é
\text{comprimento do latus rectum}=2.

Passo 4

Passo para obter a equação cartesiana: converter da forma polar para x,y.
Recordando relações polares:
\rho=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \rho\cos\theta=x.
Partindo da forma original 3\rho\cos\theta+2\rho=2, substituo:
3x+2\sqrt{x^2+y^2}=2.
Isolo a raiz:
2\sqrt{x^2+y^2}=2-3x.
Para eliminar a raiz, elevo ao quadrado (dou atenção: esse passo pode introduzir soluções extranhas, mas verificarei consistência depois):
4(x^2+y^2)=(2-3x)^2.
Expando e reorganizo:
4x^2+4y^2=4-12x+9x^2.
Levo tudo para um lado:
0=4-12x+9x^2-4x^2-4y^2
0=4-12x+5x^2-4y^2.
Ou
5x^2-12x-4y^2+4=0.
Agora vou colocar na forma padrão da hipérbole (completa quadrados em x):
5\biggl(x^2-\frac{12}{5}x\biggr)-4y^2+4=0.
Completo o quadrado em x:
x^2-\frac{12}{5}x=\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)^2=\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-\tfrac{36}{25}.
Substituindo:
5\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-5\cdot\tfrac{36}{25}-4y^2+4=0.
Calculo as constantes:
5\cdot\tfrac{36}{25}=\tfrac{36}{5},\qquad -\tfrac{36}{5}+4=-\tfrac{36}{5}+\tfrac{20}{5}=-\tfrac{16}{5}.
Logo
5\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-4y^2-\tfrac{16}{5}=0
5\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-4y^2=\tfrac{16}{5}.
Divido por \tfrac{16}{5} para colocar em forma padrão \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1:
\frac{5\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2}{\tfrac{16}{5}}-\frac{4y^2}{\tfrac{16}{5}}=1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{25}{16}\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2-\frac{5}{4}y^2=1.
Escrevendo em termos de a^2 e b^2:
\frac{\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2}{\tfrac{16}{25}}-\frac{y^2}{\tfrac{4}{5}}=1.
Portanto:
  • Centro da hipérbole: \bigl(h,0\bigr)=\bigl(\tfrac{6}{5},0\bigr).
  • a^2=\tfrac{16}{25}, então a=\tfrac{4}{5}.
  • b^2=\tfrac{4}{5}, então b=\tfrac{2}{\sqrt{5}}.
Calculo c (distância centro-foco) pela relação para hipérbole:
c^2=a^2+b^2=\tfrac{16}{25}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{16}{25}+\tfrac{20}{25}=\tfrac{36}{25},
logo
c=\tfrac{6}{5}.
Observação de consistência: um dos focos fica em x=h-c=\tfrac{6}{5}-\tfrac{6}{5}=0, ou seja a origem — isto confirma que a forma polar tinha foco na origem e a transformação está coerente.

Passo 5

Encontrar vértices, focos e diretriz(es) de maneira explícita.
Vértices (transverse axis ao longo do eixo x):
x=h\pm a=\tfrac{6}{5}\pm\tfrac{4}{5}.
Portanto vértices:
V_1=\bigl(\tfrac{6}{5}-\tfrac{4}{5},0\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{5},0\bigr)=(0{,}4,0),
V_2=\bigl(\tfrac{6}{5}+\tfrac{4}{5},0\bigr)=\bigl(\tfrac{10}{5},0\bigr)=(2,0).
Focos:
F_1=(h-c,0)=\bigl(\tfrac{6}{5}-\tfrac{6}{5},0\bigr)=(0,0),
F_2=(h+c,0)=\bigl(\tfrac{6}{5}+\tfrac{6}{5},0\bigr)=\bigl(\tfrac{12}{5},0\bigr)=(2{,}4,0).
Diretrizes:
  • Para uma hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 as diretrizes são as retas
x=h\pm \frac{a}{e},
onde e=\dfrac{c}{a} é a excentricidade. Aqui
e=\frac{c}{a}=\frac{\tfrac{6}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{6}{4}=\tfrac{3}{2}.
Então
\frac{a}{e}=\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{15}.
Assim as duas diretrizes são
x=h\pm \tfrac{8}{15}=\tfrac{6}{5}\pm\tfrac{8}{15}.
Calculando numericamente:
x=\tfrac{6}{5}-\tfrac{8}{15}=\tfrac{18-8}{15}=\tfrac{10}{15}=\tfrac{2}{3},
x=\tfrac{6}{5}+\tfrac{8}{15}=\tfrac{18+8}{15}=\tfrac{26}{15}.
Note: a diretriz associada ao foco na origem é x=\tfrac{2}{3}. Isso também se obtém diretamente da forma polar: como \rho=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta} e aqui ed=\ell=1 com e=\tfrac{3}{2}, obtemos d=\tfrac{1}{e}=\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Eixos e assimptotas (medidas e equações).
Semieixos:
a=\tfrac{4}{5}=0{,}8,\qquad b=\tfrac{2}{\sqrt{5}}\approx0{,}8944.
Comprimentos dos eixos (inteiros):
\text{eixo transverso }=2a=\tfrac{8}{5}=1{,}6,
\text{eixo conjugado }=2b=\tfrac{4}{\sqrt{5}}\approx1{,}7889.
Asímptotas da hipérbole (para \dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 são)
y=\pm\frac{b}{a}\,(x-h).
Calculo da inclinação:
\frac{b}{a}=\frac{\tfrac{2}{\sqrt{5}}}{\tfrac{4}{5}}=\tfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{5}{2\sqrt{5}}=\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto as assíntotas são
y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigl(x-\tfrac{6}{5}\Bigr).

Passo 7

Checagens rápidas (ajudam na prova): pontos notáveis a partir da polar original.
  • Para \theta=0 (eixo +x):
\rho=\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cdot1}=\frac{1}{2{,}5}=\tfrac{2}{5}=0{,}4,
isto é o vértice V_1=(0{,}4,0) — consistente.
  • Para \theta=\pi:
\rho=\frac{1}{1+\tfrac{3}{2}\cos\pi}=\frac{1}{1-\tfrac{3}{2}}=\frac{1}{-1/2}=-2,
o que em termos polares corresponde ao ponto r=2,\\ \theta=0, isto é V_2=(2,0) — consistente.
Esboço (descrição para desenhar no plano):
  • Centro em \bigl(\tfrac{6}{5},0\bigr)=(1{,}2,0).
  • Vértices em (0{,}4,0) (ramo esquerdo) e (2,0) (ramo direito).
  • Focos em (0,0) (origem) e (2{,}4,0).
  • Asíntotas com declives \pm\tfrac{\sqrt{5}}{2} e passando por (1{,}2,0).
  • O ramo esquerdo aproxima-se da assíntota de declive negativa/positiva à esquerda; o ramo direito aproxima-se das assíntotas à direita. O latus rectum perto do foco em origem é o segmento vertical entre (0,1) e (0,-1).

Resposta

Hipérbole com foco na origem ( e=\tfrac{3}{2}>1).
Comprimento do latus rectum: 2.
Equação cartesiana (forma expandida):
5x^2-12x-4y^2+4=0.
Equação cartesiana (forma padrão):
\frac{\bigl(x-\tfrac{6}{5}\bigr)^2}{\tfrac{16}{25}}-\frac{y^2}{\tfrac{4}{5}}=1.
Centro: \bigl(\tfrac{6}{5},0\bigr).
Semieixos: a=\tfrac{4}{5}, b=\tfrac{2}{\sqrt{5}}.
Comprimentos dos eixos: 2a=\tfrac{8}{5}, 2b=\tfrac{4}{\sqrt{5}}.
Focos: (0,0) e \bigl(\tfrac{12}{5},0\bigr)=(2{,}4,0).
Vértices: \bigl(\tfrac{2}{5},0\bigr)=(0{,}4,0) e (2,0).
Diretrizes: x=\tfrac{2}{3} e x=\tfrac{26}{15}. (A diretriz associada ao foco na origem é x=\tfrac{2}{3}.)
Assíntotas:
y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigl(x-\tfrac{6}{5}\Bigr).

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