Determine a equação polar do círculo de centro
e raio
, onde:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o centro e o raio do círculo em coordenadas polares e pede a equação polar do círculo.
Dados fornecidos:
- Centro
com coordenadas polares . Ou seja, e . - Raio
.
O que se pede:
- Determinar a equação do círculo em coordenadas polares, isto é, uma relação entre
e que descreva todos os pontos do círculo de centro e raio .
Passo 2
Vou lembrar e usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas. Para um ponto qualquer,
Aplicando isso ao centro
(peguei
e
do enunciado), calculo as coordenadas cartesianas do centro:
Primeiro avalio as funções trigonométricas em :
Primeiro avalio as funções trigonométricas em
Multiplicando por
obtemos
Portanto o centro em coordenadas cartesianas é
.
Passo 3
A equação do círculo de centro
e raio
em coordenadas cartesianas é
Substituindo
,
e
obtenho
Passo 4
Agora faço a substituição
e
na equação do círculo (explico passo a passo para poder fazer na prova sem erro):
Substituindo,
Substituindo,
Expando ambos os quadrados:
Agrupo termos: uso
para somar os termos em
:
Subtraio
dos dois lados para colocar em forma padrão:
Agrupando o termo linear em
,
Passo 5
A expressão do passo anterior é a equação do círculo em coordenadas polares na forma implícita. Escrevo-a de forma clara:
Essa é uma boa forma final: dá uma relação direta entre
e
que descreve o círculo.
Passo 6
Se for útil, pode-se também isolar
(usar a fórmula de Bhaskara para resolver a quadrática em
). Faço isso para ter a forma explícita
— isto ajuda a ver para cada
quais
satisfazem o círculo.
A equação é quadrática em
com coeficientes
O discriminante é
Aplicando a fórmula quadrática:
Simplificando:
Passo 7
Interpretação prática para a prova (dica amiga): a raiz com o sinal
fornece sempre um
para todo
(isso porque
), então, ao trabalhar com representações polares usuais (
), escolha a solução com o sinal
. A forma implícita do Passo 5 é suficiente e muitas vezes a preferida.
Resposta
ou, de forma explícita,