Determine a equação polar do círculo de centro P_{0} e raio r, onde:
P_{0}=\left(\sqrt{2}, \frac{7 \pi}{4}\right)_{O \rho \theta} e r=2.

Passo 1

O enunciado dá o centro e o raio do círculo em coordenadas polares e pede a equação polar do círculo.
Dados fornecidos:
  • Centro P_{0} com coordenadas polares \left(\sqrt{2}, \dfrac{7\pi}{4}\right)_{O\rho\theta}. Ou seja, \rho_{0}=\sqrt{2} e \theta_{0}=\dfrac{7\pi}{4}.
  • Raio r=2.
O que se pede:
  • Determinar a equação do círculo em coordenadas polares, isto é, uma relação entre \rho e \theta que descreva todos os pontos do círculo de centro P_{0} e raio r.

Passo 2

Vou lembrar e usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas. Para um ponto qualquer,
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Aplicando isso ao centro P_{0} (peguei \rho_{0}=\sqrt{2} e \theta_{0}=\dfrac{7\pi}{4} do enunciado), calculo as coordenadas cartesianas do centro:
Primeiro avalio as funções trigonométricas em \theta_{0}=\dfrac{7\pi}{4}:
\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando por \rho_{0}=\sqrt{2} obtemos
x_{0}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1,\qquad y_{0}=\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1.
Portanto o centro em coordenadas cartesianas é P_{0}=(1,-1).

Passo 3

A equação do círculo de centro P_{0}=(x_{0},y_{0}) e raio r em coordenadas cartesianas é
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=-1 e r=2 obtenho
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=4.

Passo 4

Agora faço a substituição x=\rho\cos\theta e y=\rho\sin\theta na equação do círculo (explico passo a passo para poder fazer na prova sem erro):
Substituindo,
(\rho\cos\theta-1)^{2}+(\rho\sin\theta+1)^{2}=4.
Expando ambos os quadrados:
\rho^{2}\cos^{2}\theta-2\rho\cos\theta+1+\rho^{2}\sin^{2}\theta+2\rho\sin\theta+1=4.
Agrupo termos: uso \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 para somar os termos em \rho^{2}:
\rho^{2}+(-2\rho\cos\theta+2\rho\sin\theta)+2=4.
Subtraio 4 dos dois lados para colocar em forma padrão:
\rho^{2}-2\rho\cos\theta+2\rho\sin\theta-2=0.
Agrupando o termo linear em \rho,
\rho^{2}+2\rho(\sin\theta-\cos\theta)-2=0.

Passo 5

A expressão do passo anterior é a equação do círculo em coordenadas polares na forma implícita. Escrevo-a de forma clara:
\rho^{2}+2\rho(\sin\theta-\cos\theta)-2=0.
Essa é uma boa forma final: dá uma relação direta entre \rho e \theta que descreve o círculo.

Passo 6

Se for útil, pode-se também isolar \rho (usar a fórmula de Bhaskara para resolver a quadrática em \rho). Faço isso para ter a forma explícita \rho=\rho(\theta) — isto ajuda a ver para cada \theta quais \rho satisfazem o círculo.
A equação é quadrática em \rho com coeficientes
a=1,\qquad b=2(\sin\theta-\cos\theta),\qquad c=-2.
O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=4(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+8=4\bigl((\sin\theta-\cos\theta)^{2}+2\bigr).
Aplicando a fórmula quadrática:
\rho=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-2(\sin\theta-\cos\theta)\pm 2\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+2}}{2}.
Simplificando:
\rho=\cos\theta-\sin\theta\pm\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+2}.

Passo 7

Interpretação prática para a prova (dica amiga): a raiz com o sinal + fornece sempre um \rho>0 para todo \theta (isso porque \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+2}>|\sin\theta-\cos\theta|), então, ao trabalhar com representações polares usuais ( \rho\ge0), escolha a solução com o sinal +. A forma implícita do Passo 5 é suficiente e muitas vezes a preferida.

Resposta

\rho^{2}+2\rho(\sin\theta-\cos\theta)-2=0
ou, de forma explícita,
\rho=\cos\theta-\sin\theta\pm\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}+2}

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