Em cada item, determine uma equação polar para a cônica \mathcal{C}, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
\mathcal{C}: x^{2}+6 y^{2}-3 y=4,

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a cônica em coordenadas cartesianas: x^{2}+6y^{2}-3y=4.
  • Pede-se:
    1. Determinar uma equação polar para a cônica \mathcal{C}.
    2. Determinar o comprimento do semi-latus rectum (semi‑lado reto), que chamarei de l.
    3. Fazer um esboço/identificação dos elementos principais da curva (centro, vértices, focos, etc.) para poder desenhá-la.
  • Informação explícita do enunciado: só a equação cartesiana dada acima.
  • Observação importante (só para organizar o trabalho): como a equação não tem termo em xy e o coeficiente de x^2 é positivo e diferente do coeficiente de y^2, espera-se uma elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados. A resolução começa por colocar a equação na forma padrão da elipse.

Passo 2

Colocar a equação na forma canônica da elipse (completando quadrado em y).
Escrevemos:
x^{2}+6y^{2}-3y=4.
Agrupando o termo em y:
x^{2}+6\bigl(y^{2}-\tfrac{1}{2}y\bigr)=4.
Agora completamos o quadrado dentro do parênteses: y^{2}-\tfrac{1}{2}y = \bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{16}. Substituindo:
x^{2}+6\Bigl[\bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{16}\Bigr]=4.
Desenvolvendo:
x^{2}+6\bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{6}{16}=4.
Como \tfrac{6}{16}=\tfrac{3}{8}, tem-se
x^{2}+6\bigl(y-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}=4+\tfrac{3}{8}=\tfrac{35}{8}.

Passo 3

Colocar na forma padrão \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{35}{8}:
\frac{x^{2}}{35/8}+\frac{6\,(y-\tfrac{1}{4})^{2}}{35/8}=1.
Escrevendo a segunda fração em forma (y-k)^{2}/b^{2}:
\frac{x^{2}}{35/8}+\frac{(y-\tfrac{1}{4})^{2}}{35/48}=1.
Logo a elipse tem centro em (0,\tfrac{1}{4}), com
a^{2}=\frac{35}{8},\qquad b^{2}=\frac{35}{48}.
Como a^{2}>b^{2}, o semi-eixo maior está no sentido do eixo x. Os semi-eixos são
a=\sqrt{\tfrac{35}{8}},\qquad b=\sqrt{\tfrac{35}{48}}.
Para referência numérica:
a\approx2{,}092\quad\text{e}\quad b\approx0{,}854.

Passo 4

Calcular c (distância do centro a cada foco) e a excentricidade e.
Para elipse horizontal vale c^{2}=a^{2}-b^{2}. Então
c^{2}=\frac{35}{8}-\frac{35}{48}=\frac{35}{8}\Bigl(1-\frac{1}{6}\Bigr)=\frac{35}{8}\cdot\frac{5}{6}=\frac{175}{48}.
Portanto
c=\sqrt{\tfrac{175}{48}}=\frac{5}{4}\sqrt{\tfrac{7}{3}}\approx1{,}909.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{6}}.
Observe que e^{2}=\tfrac{5}{6} e 0<e<1, consistente com elipse.

Passo 5

Determinar o semi-latus rectum l.
Para qualquer cônica com foco na origem (forma polar padrão) existe a relação
l=a(1-e^{2}).
Como 1-e^{2}=1-\tfrac{5}{6}=\tfrac{1}{6}, obtemos
l=a\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\sqrt{\tfrac{35}{8}}.
Também é equivalente a l=\dfrac{b^{2}}{a}; numericamente,
l\approx0{,}3487.

Passo 6

Escolher a posição do foco e a orientação do eixo polar para escrever a equação polar padrão.
  • Os focos da elipse estão em (\pm c,\tfrac{1}{4}).
  • Para obter uma equação polar simples do tipo padrão r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta}, convém colocar a origem no foco esquerdo \bigl(-c,\tfrac{1}{4}\bigr) e escolher o eixo polar (direção \theta=0) apontando do foco para a direita, isto é, na direção do centro e do vértice próximo. Assim, o vértice mais próximo do foco escolhido fica em \theta=0.
    Com essa escolha, a elipse em coordenadas polares (origem no foco esquerdo, eixo polar apontando para o centro) tem a forma padrão
r=\frac{l}{1+e\cos\theta}.

Passo 7

Substituir os valores de e e l na fórmula polar e apresentar a equação explícita.
Com e=\sqrt{\tfrac{5}{6}} e l=\dfrac{1}{6}\sqrt{\tfrac{35}{8}}, a equação polar fica
\boxed{\,r=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{35}{8}}}{1+\sqrt{\dfrac{5}{6}}\cos\theta}\,}
onde:
  • a origem das coordenadas polares é o foco esquerdo da elipse, localizado em \bigl(-\sqrt{175/48},\tfrac{1}{4}\bigr),
  • o eixo polar \theta=0 aponta para a direita (para o centro da elipse).

Passo 8

Elementos úteis para esboçar a curva (valores e posições que ajudam no desenho):
  • Centro: \bigl(0,\tfrac{1}{4}\bigr).
  • Vértices ao longo do eixo x: \bigl(\pm a,\tfrac{1}{4}\bigr)=\bigl(\pm\sqrt{35/8},\tfrac{1}{4}\bigr)\approx(\pm2{,}092,\;0{,}25).
  • Co‑vértices (pontos extremos menores): \bigl(0,\tfrac{1}{4}\pm b\bigr)\approx(0,\;1{,}104) e (0,\;-0{,}604).
  • Focos: \bigl(\pm c,\tfrac{1}{4}\bigr) com c=\sqrt{175/48}\approx1{,}909.
  • Distâncias do foco esquerdo (origem polar escolhida): periélio (mínimo de r) em \theta=0 dado por r_{\min}=a(1-e)\approx0{,}182; afélio (máximo) em \theta=\pi dado por r_{\max}=a(1+e)\approx4{,}001.
  • Tipo: elipse com eixo maior horizontal, deslocada para cima de 1/4 na coordenada y.

Resposta

\displaystyle r=\dfrac{\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{35}{8}}}{1+\sqrt{\dfrac{5}{6}}\cos\theta} \n
\displaystyle l=\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{35}{8}}\approx0{,}3487

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