Em cada item, determine uma equação polar para a cônica
, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a cônica em coordenadas cartesianas:
. - Pede-se:
- Determinar uma equação polar para a cônica
. - Determinar o comprimento do semi-latus rectum (semi‑lado reto), que chamarei de
. - Fazer um esboço/identificação dos elementos principais da curva (centro, vértices, focos, etc.) para poder desenhá-la.
- Determinar uma equação polar para a cônica
- Informação explícita do enunciado: só a equação cartesiana dada acima.
- Observação importante (só para organizar o trabalho): como a equação não tem termo em
e o coeficiente de é positivo e diferente do coeficiente de , espera-se uma elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados. A resolução começa por colocar a equação na forma padrão da elipse.
Passo 2
Colocar a equação na forma canônica da elipse (completando quadrado em
).
Escrevemos:
Escrevemos:
Agrupando o termo em
:
Agora completamos o quadrado dentro do parênteses:
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Como
, tem-se
Passo 3
Colocar na forma padrão
.
Dividindo ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por
Escrevendo a segunda fração em forma
:
Logo a elipse tem centro em
, com
Como
, o semi-eixo maior está no sentido do eixo
. Os semi-eixos são
Para referência numérica:
Passo 4
Calcular
(distância do centro a cada foco) e a excentricidade
.
Para elipse horizontal vale . Então
Para elipse horizontal vale
Portanto
A excentricidade é
Observe que
e
, consistente com elipse.
Passo 5
Determinar o semi-latus rectum
.
Para qualquer cônica com foco na origem (forma polar padrão) existe a relação
Para qualquer cônica com foco na origem (forma polar padrão) existe a relação
Como
, obtemos
Também é equivalente a
; numericamente,
Passo 6
Escolher a posição do foco e a orientação do eixo polar para escrever a equação polar padrão.
- Os focos da elipse estão em
. - Para obter uma equação polar simples do tipo padrão
, convém colocar a origem no foco esquerdo e escolher o eixo polar (direção ) apontando do foco para a direita, isto é, na direção do centro e do vértice próximo. Assim, o vértice mais próximo do foco escolhido fica em .
Com essa escolha, a elipse em coordenadas polares (origem no foco esquerdo, eixo polar apontando para o centro) tem a forma padrão
Passo 7
Substituir os valores de
e
na fórmula polar e apresentar a equação explícita.
Com e
, a equação polar fica
Com
onde:
- a origem das coordenadas polares é o foco esquerdo da elipse, localizado em
, - o eixo polar
aponta para a direita (para o centro da elipse).
Passo 8
Elementos úteis para esboçar a curva (valores e posições que ajudam no desenho):
- Centro:
. - Vértices ao longo do eixo
: . - Co‑vértices (pontos extremos menores):
e . - Focos:
com . - Distâncias do foco esquerdo (origem polar escolhida): periélio (mínimo de
) em dado por ; afélio (máximo) em dado por . - Tipo: elipse com eixo maior horizontal, deslocada para cima de
na coordenada .