Resolva em x as seguintes equações:
e^{-2 x}-3 e^{-x}=-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x a equação
e^{-2x}-3e^{-x}=-2.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (número real).
  • A equação envolve exponenciais com base e.
  • Deve-se encontrar todos os x reais que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Vamos simplificar a aparência da equação por meio de uma substituição conveniente. Observe que e^{-2x}=(e^{-x})^2. Então definimos a variável auxiliar
t=e^{-x}.
Explicação didática: a função exponencial e^y é sempre positiva para todo y\in\mathbb{R}, portanto t>0. A substituição transforma termos exponenciais em potências de t, o que costuma reduzir equações exponenciais a equações polinomiais mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição na equação original obtemos
(e^{-x})^2-3(e^{-x})=-2
ou seja
t^2-3t=-2.
Colocando em forma padrão:
t^2-3t+2=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática t^2-3t+2=0. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 2 e cuja soma seja -3. Esses números são -1 e -2. Logo
t^2-3t+2=(t-1)(t-2).
Portanto as raízes são
t=1 \quad\text{ou}\quad t=2.
Observação didática: fatorar assim é uma técnica padrão para quadráticas com coeficientes inteiros; alternativamente poderia-se usar a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Voltando à substituição t=e^{-x}, resolvemos para x em cada caso.
Caso t=1:
e^{-x}=1.
Propriedade do logaritmo natural: \ln(1)=0. Assim
-x=\ln(1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 6

Caso t=2:
e^{-x}=2.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados (explicação: log natural é a função inversa de e^{(\cdot)}):
-x=\ln(2) \quad\Rightarrow\quad x=-\ln(2).

Passo 7

Devemos verificar que ambas as soluções satisfazem a equação original (checagem rápida é boa prática em provas).
Para x=0:
e^{-2\cdot 0}-3e^{-0}=1-3=-2,
confere.
Para x=-\ln(2): primeiro note que e^{-x}=e^{\ln(2)}=2, então e^{-2x}=(e^{-x})^2=4. Assim
e^{-2x}-3e^{-x}=4-3\cdot 2=4-6=-2,
confere também.

Resposta

x=0
x=-\ln(2)

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