Resolva em
as seguintes equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
(número real). - A equação envolve exponenciais com base
. - Deve-se encontrar todos os
reais que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Vamos simplificar a aparência da equação por meio de uma substituição conveniente. Observe que
. Então definimos a variável auxiliar
Explicação didática: a função exponencial
é sempre positiva para todo
, portanto
. A substituição transforma termos exponenciais em potências de
, o que costuma reduzir equações exponenciais a equações polinomiais mais simples.
Passo 3
Aplicando a substituição na equação original obtemos
ou seja
Colocando em forma padrão:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo
Portanto as raízes são
Observação didática: fatorar assim é uma técnica padrão para quadráticas com coeficientes inteiros; alternativamente poderia-se usar a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Voltando à substituição
, resolvemos para
em cada caso.
Caso
:
Propriedade do logaritmo natural:
. Assim
Passo 6
Caso
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados (explicação: log natural é a função inversa de
):
Passo 7
Devemos verificar que ambas as soluções satisfazem a equação original (checagem rápida é boa prática em provas).
Para
:
confere.
Para
: primeiro note que
, então
. Assim
confere também.