Em cada caso, identifique a região do plano x y cuja área é representada pela integral e calcule o valor da área.
© integral-1^0(4+3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar a área no plano xy que é representada pela integral integral-1^0(4+3 x) d x e calcular o valor dessa área. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com a integração definida para achar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. A função que estamos integrando é f(x) = 4 + 3x. Graficamente, isso é uma reta que corta o eixo y no ponto 4 e tem inclinação 3. A integral de f(x) de -1 a 0 vai nos dar a área entre essa reta, o eixo x, e os limites de x = -1 e x = 0.

Passo 3

Agora, para calcular essa área, precisamos resolver a integral definida:
integral-1^0 (4 + 3x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada (primitiva) da função f(x) = 4 + 3x. A antiderivada de 4 em relação a x é 4x, e a antiderivada de 3x é 32x^2. Então, a antiderivada completa é:
F(x) = 4x + 32x^2

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
F(0) - F(-1) = (4(0) + 32(0)^2) - (4(-1) + 32(-1)^2)
Simplificando:
0 - (-4 + 32) = 0 + 4 - 32 = 52

Resposta

A área é dfrac52 unidades de área.

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