Em cada caso, identifique a região do plano
cuja área é representada pela integral e calcule o valor da área.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar a área no plano
que é representada pela integral
e calcular o valor dessa área. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com a integração definida para achar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa integral representa. A função que estamos integrando é
. Graficamente, isso é uma reta que corta o eixo
no ponto
e tem inclinação
. A integral de
de
a
vai nos dar a área entre essa reta, o eixo
, e os limites de
e
.
Passo 3
Agora, para calcular essa área, precisamos resolver a integral definida:
Passo 4
Vamos calcular a antiderivada (primitiva) da função
. A antiderivada de
em relação a
é
, e a antiderivada de
é
. Então, a antiderivada completa é:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Simplificando:
Resposta
A área é
unidades de área.